北师大版高考数学一轮总复习52平面向量基本定理及向量的坐标运算

北师大版高考数学一轮总复习52平面向量基本定理及向量的坐标运算内容摘要：

D 与 BC 的中点．设 BA→＝ a ， BC→＝ b ，试用 a ， b为基底表示向量 EF→， DF→， CD→. [ 解析 ] EF→＝ EA→＋ AB→＋ BF→＝－16b － a ＋12b ＝13b － a ， DF→＝ DE→＋ EF→＝－16b ＋ (13b － a ) ＝16b － a ， CD→＝ CF→＋ FD→＝－12b － (16b － a ) ＝ a －23b . 平面向量的坐标运算 已知 A ( － 2,4) ， B (3 ，－ 1) ， C ( － 3 ，－ 4) ． 设 AB→＝ a ， BC→＝ b ， CA→＝ c ，且 CM→＝ 3 c ， CN→＝－ 2 b ， ( 1) 求 3 a ＋ b － 3 c ； ( 2) 求满足 a ＝ m b ＋ n c 的实数 m ， n ； ( 3) 求 M ， N 的坐标及向量 MN→的坐标． [ 思路分析 ] 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解． [ 规范解答 ] 由已知得 a ＝ (5 ，－ 5) ， b ＝ ( － 6 ，－ 3) ， c ＝(1,8) ． (1) 3 a ＋ b － 3 c ＝ 3( 5 ，－ 5) ＋ ( － 6 ，－ 3) － 3( 1,8) ＝ (15 － 6 － 3 ，－ 15 － 3 － 24) ＝ (6 ，－ 42) ． (2) ∵ m b ＋ n c ＝ ( － 6 m ＋ n ，－ 3 m ＋ 8 n ) ＝ (5 ，－ 5) ， ∴ － 6 m ＋ n ＝ 5－ 3 m ＋ 8 n ＝－ 5，解得 m ＝－ 1n ＝－ 1. (3) ∵ CM→＝ OM→－ OC→＝ 3 c ， ∴ OM→＝ 3 c ＋ OC→＝ (3,24 ) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (0,20 ) ． ∴ M (0,20 ) ． 又 ∵ CN→＝ ON→－ OC→＝－ 2 b ， ∴ ON→＝－ 2 b ＋ OC→＝ (12,6 ) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (9,2) ． ∴ N (9,2) ， ∴ MN→＝ (9 ，－ 18) ． [ 方法总结 ] ( 1) 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用． ( 2) 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数． ( 文 ) 在平行四边形 AB CD 中， AC 为一条对角线，若 AB→＝( 2,4) ， AC→＝ ( 1,3) ，则 BD→＝ ( ) A ． ( － 2 ，－ 4) B ． ( － 3 ，－ 5) C ． ( 3,5) D ． ( 2,4) [ 答案 ] B [ 解析 ] 由题意得 BD→＝ AD→－ AB→＝ BC→－ AB→＝ ( AC→－ AB→) －AB→＝ AC→－ 2 AB→＝ ( 1,3) － 2( 2,4) ＝ ( － 3 ，－ 5) ． ( 理 ) 已知点 A ( － 1,2) ， B ( 2,8) 以及 AC→＝13AB→， DA→＝－13BA→，求点 C 、 D 的坐标和 CD→的坐标． [ 分析 ] 根据题意可设出点 C 、 D 的坐标，然后利用已知的两个关系式列方程组，求出坐标． [ 解析 ] 设点 C 、 D 的坐标分别为 ( x1， y1) ， ( x2， y2) ， 由题意得 AC→＝ ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ， AB→＝ ( 3,6) ， DA→＝ ( － 1 － x2,2 － y2) ， BA→＝ ( － 3 ，－ 6) ． 因为 AC→＝13AB→， DA→＝－13BA→， 所以有 x1＋ 1 ＝ 1 ，y1－ 2 ＝ 2和 － 1 － x2＝ 1 ，2 － y2＝ 2 ，解得  x1＝ 0 ，y1＝ 4和 x2＝－ 2 ，y2＝ 0 ， 所以点 C 、 D 的坐标分别是 ( 0,4) ， ( － 2,0) ， 从而 CD→＝ ( － 2 ，－ 4) . 平面向量共线的坐标表示 平面内给定三个向量 a ＝ (3,2) ， b ＝ ( － 1,2) ， c ＝(4,1) ，请解答下列问题： (1) 求满足 a ＝ m b ＋ n c 的实数 m ， n ； (2) 若 ( a ＋ k c ) ∥ (2 b － a ) ，求实数 k ； (3) 若 d 满足 ( d － c ) ∥ ( a ＋ b ) ，且 | d － c |＝ 5 ，求 d . [ 思路分析 ] ( 1) 向量相等对应坐标相等。