北师大版高考数学一轮总复习47正弦定理和余弦定理

北师大版高考数学一轮总复习47正弦定理和余弦定理内容摘要：

为 75176。 、 30176。 ，于水面 C 处测得 B 点和 D点仰角均为 60176。 ， AC ＝ . 试探究图中 B 、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B 、 D 的距离 ( 计算结果精确到 ， 2 ≈ ， 6 ≈ ) ． [ 分析 ] 计算 ∠ AD C → AC ＝ DC → AB ＝ BD → 在 △ ABC 中计算 AB → 求得 BD [ 解析 ] 在 △ AC D 中， ∠ DA C ＝ 30 176。 ， ∠ AD C ＝ 60176。 － ∠DA C ＝ 30176。 ，所以 CD ＝ AC ＝ ，又 ∠ BCD ＝ 180176。 － 60176。 － 60176。 ＝ 60176。 ，故 CB 是 △ CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD ＝ BA .在 △ ABC 中，ABsin ∠ BCA＝ACsin ∠ ABC，所以 AB ＝AC sin60176。 sin15176。 ＝3 2 ＋ 620. 同理， BD ＝3 2 ＋ 620≈ ( km) ． 故 B 、 D 的距离约为 . 测量高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西 60176。 的方向前进 40m以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30 176。 ，求塔高． [ 思路分析 ] 从 C 到 D 所测塔的仰角最大的，只有 B 到CD 最短时，仰角才最大，这时因为 tan ∠ AEB ＝ABBE， AB 为定值，要求出塔高 AB ，必须先求 BE ，而要求 BE ，须先求 BD ( 或BC ) ． [ 规范解答 ] 依题意画图，某人在 C 处， AB 为塔高，他沿 CD 前进， CD ＝ 40m ，此时 ∠ DB F ＝ 45176。 ， 在 △ BCD 中， CD ＝ 40 ， ∠ BCD ＝ 30176。 ， ∠ DB C ＝ 135176。 ， 由正弦定理得，CDsin ∠ DB C＝BDsin ∠ BCD， ∴ BD ＝40sin30176。 sin135176。 ＝ 20 2 . 在 Rt △ BED 中，作 BE ⊥ DC 于 E . ∠ BD E ＝ 180176。 － 135176。 － 30176。 ＝ 15176。 . ∴ BE ＝ BD sin15176。 ＝ 20 2 6 － 24＝ 10( 3 － 1) ． 在 Rt △ ABE 中， ∠ AEB ＝ 30176。 ， ∴ A B ＝ BE tan 30176。 ＝103(3 － 3 ) ( m) ． 故所求的塔高为103(3 － 3 ) m. [ 方法总结 ] ( 1) 处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角( 视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角 ) 是一个关键． ( 2) 在实际问题中， 可能会遇到空间与平面 ( 地面 ) 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 提醒： 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合． 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .测得 ∠ BCD ＝ 15176。 ， ∠ BD C ＝ 30176。 ， CD ＝ 30m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60176。 ，则塔高 AB ＝ ________m. [ 答案 ] 15 6 [ 解析 ] 由已知可得 ∠ DB C ＝ 135176。 ， 在 △ DB C 中，由正弦定理可得BCsin30176。 ＝CDsin1。