北师大版高考数学一轮总复习45两角和与差的三角函数

北师大版高考数学一轮总复习45两角和与差的三角函数内容摘要：

76。 ＋ sin15176。 sin9176。  ＝sin15176。 c os9176。 － c os15176。 c os9176。 ＝－ tan 15176。 ＝－tan 45176。 － tan 30176。 1 ＋ tan 45176。 tan 30176。 ＝ 3 － 2. 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形应用 (1) 已知 sin( α ＋π6) ＋ c os α ＝453 ，则 sin( α ＋π3) 的值为 ( ) A.45 B.35 C.32 D.35 ( 2) ( 2020 青岛模拟 ) 若 ( 4t a n α ＋ 1) ( 1 － 4t a n β ) ＝ 17 ， 则 tan ( α－ β ) 等于 ( ) A.14 B.12 C ． 4 D ． 12 [ 思路分析 ] ( 1) 利用两角和的公式进行化简． ( 2) 对原式化简后进行适当的变形，注意两角差的正切公式的逆用． [ 规范解答 ] ( 1) 由条件得32sin α ＋32c os α ＝453 ， 即12sin α ＋32c os ＝45. ∴ sin( α ＋π3) ＝45. ( 2) 由已知得 4ta n α － 16t a n α tan β ＋ 1 － 4ta n β ＝ 17 ， ∵ tan α － tan β ＝ 4( 1 ＋ tan α tan β ) ， ∴ tan ( α － β ) ＝tan α － tan β1 ＋ tan α tan β＝ 4. [ 答案 ] ( 1) A ( 2) C [ 方法总结 ] 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α ＋ tan β＝ tan ( α ＋ β ) ( 1 － tan α tan β ) 和二倍角的余弦公式的多种变形等．应 熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能正确掌握公式的应用． 若锐角 α ， β 满足 (1 ＋ 3 tan α )(1 ＋ 3 tan β ) ＝ 4 ，求 α ＋ β 的值． [ 解析 ] ∵ (1 ＋ 3 tan α )(1 ＋ 3 tan β ) ＝ 1 ＋ 3 tan α ＋ 3 tan β ＋ 3ta n α tan β ＝ 4 ， ∴ 3 ( tan α ＋ tan β ) ＝ 3( 1 － t a n α tan β ) ， 即 tan α ＋ tan β ＝ 3 (1 － tan α tan β ) ， ∴ tan ( α ＋ β ) ＝tan α ＋ tan β1 － tan α tan β＝ 3 ， 又 α 、 β 均为锐角， ∴ 0 α ＋ β π ， ∴ α ＋ β ＝π3. 利用公式进行条件求值 若 sin A ＝55， sin B ＝1010，且 A ， B 均为钝角，求 A ＋ B 的值． [ 思路分析 ] 欲求 A ＋ B ，先求 A ＋ B 的一个三角函数值，然后再由 A 、 B 的范围求得 A ＋ B 的值． [ 规范解答 ] ∵ A 、 B 均为钝角且 sin A ＝55， sin B ＝1010， ∴ c os A ＝－ 1 － sin2A ＝－25＝－2 55， c os B ＝－ 1 － sin2B ＝－310＝－3 1010， ∴ c os( A ＋ B ) ＝ c os A c os B － sin A sin B ＝－2 55－3 1010－551010＝22① 又 ∵π2 A π ，π2 B π ， ∴ π A ＋ B 2 π . 由 ①② 知 A ＋ B ＝7π4. [ 方法总结 ] ( 1) 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ① 已知正切函数值，选正切函数；② 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0 ，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是 (0 ， π) ，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好． 已知 0 α π2 β π ， tanα2＝12， c os( β － α ) ＝210. ( 1) 求 sin α 的值； ( 2) 求 β 的值． [ 解析 ] ( 1) ∵ tanα2＝12， ∴ sin α ＝ sin2α2＝ 2sinα2c osα2 ＝2sinα2c osα2sin2α2＋ c os2α2＝2ta nα21 ＋ tan2α2＝2 121 ＋122＝45. ( 2) ∵ 0 α π2， sin α ＝45， ∴ c os α ＝35. 又 0 α π2 β π ， ∴ 0 β － α π . 由 c os( β － α ) ＝2。