北师大版高考数学一轮总复习46二倍角的三角函数

北师大版高考数学一轮总复习46二倍角的三角函数内容摘要：

5 176。 ， 整理得 c2－ 6 c ＋ 1 ＝ 0 ，解得 c ＝6 ＋ 22或 c ＝6 － 22. 又 c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc， ① 当 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝6 － 22时 ， 由 ① 可得 c os A ＝－12， 故 A ＝ 120176。 ； 当 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝6 ＋ 22时 ， 由 ① 可得 c os A ＝12， 故 A ＝ 60176。 . 故 A ＝ 60176。 ， C ＝ 75176。 ， c ＝6 ＋ 22或 A ＝ 120176。 ， C ＝ 15176。 ， c ＝6 － 22. [ 方法总结 ] 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据正弦定理和大边对大角定理或余弦定理进行判断． 已知在 △ ABC 中， a ＝ 7 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 ，求三角形中的最大角及角 C 的正弦值． [ 解析 ] ∵ a c b ， ∴ 角 A 为最大角， 由余弦 定理有 c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝－12， ∴ A ＝ 120176。 ， ∴ sin A ＝32， 再根据正弦定理，有asin A＝csin C， ∴ sin C ＝casin A ＝5732＝5 314. 利用正、余弦定理判断三角形形状 在 △ ABC 中，若 sin2A ＋ sin2B sin2C ，则 △ AB C的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [ 思路分析 ] 所给条件为角的关系，可利用正弦定理转化为边的关系，再利用余弦定理进行判断． [ 规范解答 ] 由正弦定理知asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R ， ∴ sin A ＝a2 R， sin B ＝b2 R， sin C ＝c2 R. ∵ sin2A ＋ sin2B sin2C ， ∴a24 R2 ＋b24 R2 c24 R2 ， ∴ a2＋ b2 c2， ∴ c os C ＝a2＋ b2－ c22 ab0 ， ∴ C 为钝角， ∴△ ABC 为钝角三角形． [ 答案 ] C [ 方法总结 ] 判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变形得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的 三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意 A ， B ， C 的范围对三角函数值的影响． △ ABC 中， a2tan B ＝ b2t a n A ，则三角形的形状是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由正弦定理得 sin2A tan B ＝ sin2B tan A ， sin A c os A ＝ sin B c os B ，即 sin2 A ＝ sin2 B . 又因为 A ， B ∈ (0 ， π) ，所以 A ＝ B 或 A ＋ B ＝ 90176。 . 与三角形面积有关的问题 (2020 新课标 Ⅱ ) △ AB C 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 a ＝ b c os C ＋ c sin B . ( Ⅰ ) 求 B ； ( Ⅱ ) 若 b ＝ 2 ，求 △ ABC 面积的最大值． [ 思路分析 ] (1) 由正弦定理转化为运用两角和差的正弦可以求出 ∠ B ； (2) 由余弦定理结合面积公式求出面积的最值． [ 规范解答 ] ( 1) 由已知及正弦定理得 sin A ＝ sin B c os C ＋ sin C si n B ， ① 又 A ＝ π － ( B ＋ C ) ， 故 sin A ＝ sin( B ＋ C ) ＝ si n B c os C ＋ c os B sin C .② 由 ① ， ② 和 C ∈ (0 ， π) 得 sin B ＝ c os B . 又。