北师大版高考数学一轮总复习43三角函数的图像与性质

北师大版高考数学一轮总复习43三角函数的图像与性质内容摘要：

画出 [ 0,2π ] 上 y ＝ sin x 和 y ＝ c os x 的图像，如图所示．在 [ 0,2π ] 内，满足 s in x ＝ c os x 的 x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π ，所以定义域为 { x |2 k π ＋π4≤ x ≤ 2 k π ＋5π4，k ∈ Z } ． 求函数的值域或最值 求下列函数值域： (1) y ＝ 2c os2x ＋ 2c os x ； (2) y ＝ 3c os x － 3 sin x ； (3) y ＝ sin x ＋ c os x ＋ sin x c os x . [ 思路分析 ] ( 1) 令 t ＝ c os x ，得 y ＝ 2 t2＋ 2 t ， t ∈ [ － 1,1] ，再配方求值域． ( 2) 利用辅助角公式可化为 y ＝ 2 3 c osx ＋π6，再求值域． ( 3) 令 t ＝ sin x ＋ c os x ，平方可用 t 表示 sin x c os x ，即可转化为 t 的二次函数求解． [ 规范解答 ] ( 1) y ＝ 2c os2x ＋ 2c os x ＝ 2c os x ＋122－12. 当且仅当 c os x ＝ 1 时，得 ym ax＝ 4 ， 当且仅当 c os x ＝－12时，得 ym in＝－12， 故函数值域为－12， 4 . ( 2) y ＝ 3c os x － 3 sin x ＝ 2 332c os x －12sin x ＝ 2 3 c osx ＋π6. ∵c osx ＋π6≤ 1 ， ∴ 该函数值域为 [ － 2 3 ， 2 3 ] ． ( 3) y ＝ sin x c os x ＋ sin x ＋ c os x ＝ sin x ＋ c os x 2－ 12＋ 2 sinx ＋π4 ＝ sin2x ＋π4＋ 2 sinx ＋π4－12 ＝sinx ＋π4＋222－ 1 ， 所以当 sinx ＋π4＝ 1 时 ， y 取最大值 1 ＋ 2 －12＝12＋ 2 . 当 sinx ＋π4＝－22时 ， y 取最小值 － 1 ， ∴ 该函数值域为－ 1 ，12＋ 2 . [ 方法总 结 ] 求三角函数的值域 ( 或最值 ) 的常见题型及解法为： 1 ． y ＝ a sin x ＋ b c os x 型可引用辅助角化为 y ＝ a2＋ b2sin( x ＋ φ )( 其中 tan φ ＝ba) ． 2 ． y ＝ a sin2x ＋ b sin x c os x ＋ c c os2x 型可通过降次整理化为 y＝ A sin2 x ＋ B c os2 x . 3 ． y ＝ a sin2x ＋ b c os x ＋ c 型可利用公式转化为二次函数． 4 ． sin x c os x 与 sin x 177。 c os x 同时存在型可换元转化． 5 ． y ＝a sin x ＋ bc sin x ＋ d( 或 y ＝a c os x ＋ bc c os x ＋ d) 型，可用分离常数法或由 | sin x |≤ 1 来解决． 6 ． y ＝a sin x ＋ bc c os x ＋ d型，可用斜率公式来解决． ( 文 ) 求下列函数的值域： ( 1) y ＝2sin x c os2x1 ＋ sin x， x ∈ [0 ，π2] ； ( 2) y ＝ sin2x ＋ 2sin x c os x ＋ 3c os2x . [ 解析 ] ( 1) y ＝2sin x  1 － sin2x 1 ＋ sin x＝ 2sin x (1 － sin x ) ＝－ 2( sin x －12)2＋12， ∵ 0 ≤ x ≤π2， ∴ 0 ≤ sin x ≤ 1 ， ∴ y ∈ [0 ，12] ，即函数值域为 [0 ，12] ． ( 2) y ＝ sin2x ＋ 2sin x c os x ＋ 3c os2x ＝1 － c os2 x2＋ sin2 x ＋3  1 ＋ c os2 x 2 ＝ sin2。