北师大版高考数学一轮总复习44函数y＝asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

北师大版高考数学一轮总复习44函数y＝asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用内容摘要：

6) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) 得到 y ＝ sin(x2＋π6) 的图像．最后把 y＝ sin(x2＋π6) 的图像上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，即得函数 y ＝ 2sin(x2＋π6) 的图像 . 求三角函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ b 的解析式 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ b ( ω 0 ， |φ |π2) 的图像的一部分如图所示： ( 1) 求 f ( x ) 的表达式； ( 2) 试写出 f ( x ) 的对称轴方程． [ 思路分析 ] ( 1) 函数的最大值为 3 ，最小值为－ 1 ，周期 T＝ π ，从而 A ， b ， ω 可求，再代入 (π6， 3) ，可求 φ 值． ( 2) 根据 y ＝ sin x 的对称轴方程得到所求的对称轴方程． [ 规范解答 ] ( 1) 由图像可知，函数的最大值 M ＝ 3 ，最小值 m ＝－ 1 ， 则 A ＝3 －  － 1 2＝ 2 ， b ＝3 － 12＝ 1. 又 T ＝ 2(23π －π6) ＝ π ， ∴ ω ＝2πT＝2ππ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋ φ ) ＋ 1. 将 x ＝π6， y ＝ 3 代入上式，得 sin(π3＋ φ ) ＝ 1 ， ∴π3＋ φ ＝π2＋ 2 k π ， k ∈ Z ， 即 φ ＝π6＋ 2 k π ， k ∈ Z ， 又 ∵ |φ |π2， ∴ φ ＝π6， ∴ f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋π6) ＋ 1. ( 2) 由 2 x ＋π6＝π2＋ k π( k ∈ Z ) 得 x ＝π6＋12k π ， k ∈ Z ， ∴ f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋π6) ＋ 1 的对称轴方程为： x ＝π6＋12k π ， k ∈ Z . [ 方法总结 ] 在确定 φ 值时，也可用五点法确定，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的第一零点 ( －φω， 0) 作为突破口．具体如下： “ 第一点 ” ( 即图像上升时与 x 轴的交点 ) 为 ωx ＋ φ ＝ 0 ；“ 第二点 ” ( 即图像的 “ 峰点 ” ) 为 ωx ＋ φ ＝π2； “ 第三点 ” ( 即图像下降时与 x 轴的交点 ) 为 ωx ＋ φ ＝ π ； “ 第四点 ” ( 即图像的 “ 谷点 ” ) 为 ωx ＋ φ ＝3π2； “ 第五点 ” 为 ωx ＋ φ ＝ 2π . ( 文 ) ( 2020 四川高考 ) 函数 f ( x ) ＝ 2sin( ωx ＋ φ )( ω 0 ，－π2 φ π2)的部分图像如图所示，则 ω ， φ 的值分别是 ( ) A ． 2 ，－π3 B ． 2 ，－π6 C ． 4 ，－π6 D ． 4 ，π3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 本题通过观察图像获得三角函数的周期及最值点．由 图像可知：12T ＝1112π －512π ＝π2， ∴ T ＝ π ，即2πω＝ π ， ∴ ω ＝ 2. 由图像过点 (512π ， 2) ，即 f (5π12) ＝ 2sin(2 5π12＋ φ ) ＝ 2 ，可得φ ＝ 2 k π －π3， k ∈ Z ， 又因为－π2 φ π2，可得 k ＝ 0 ， φ ＝－π3. ( 理 ) ( 2020 四川高考 ) 函数 f ( x ) ＝ 2sin( ωx ＋ φ )( ω 0 ，－π2 φ π2)的部分图像如图所示，则 ω ， φ 的值分别是 ( ) A ． 2 ，－π3 B ． 2 ，－π6 C ． 4 ，－π6 D ． 4 ，π3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 34T ＝5π12－ ( －π3) ＝3π4， ∴ T ＝2πω＝ π ， ∴ ω ＝ 2. 当 x ＝5π12时， 2 5π12＋ φ ＝π2， ∴ φ ＝－π3. 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图像与性质的综合应用 ( 2020 西安模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ， x。