北师大版高考数学一轮总复习22函数的单调性与最值

北师大版高考数学一轮总复习22函数的单调性与最值内容摘要：

[ 解析 ] ( 1) ( 配方法 ) ：由 3 ＋ 2 x － x2≥ 0 ，得－ 1 ≤ x ≤ 3. ∵ y ＝ 4 － －  x － 1 2＋ 4 ， ∴ 当 x ＝ 1 时， ym in＝ 2. 当 x ＝－ 1 或 3 时， ym ax＝ 4. ∴ 函数值 域为 [ 2,4 ] ( 2) ( 换元法 ) ：令 t ＝ 1 － 2 x ( t ≥ 0) ，则 x ＝1 － t22， ∴ y ＝－ t2＋ t ＋ 1 ＝－ ( t －12)2＋54( t ≥ 0) ， ∵ 当 t ＝12即 x ＝38时， ym ax＝54，无最小值． ∴ 函数值域为 ( － ∞ ，54] ． ( 3) ( 分离常数法 ) ∵ y ＝x2x2＋ 1＝ x2＋ 1  － 1x2＋ 1 ＝ 1 －1x2＋ 1， 又 ∵ x2＋ 1 ≥ 1 ， ∴ 01x2＋ 1≤ 1. ∴ 0 ≤ 1 －1x2＋ 11 ， 即函数 y ＝x2x2＋ 1的值域为 [ 0,1) ． ( 理 ) 求下列函数的值域． ( 1) y ＝ 4 － 3 ＋ 2 x － x2； ( 2) y ＝ x ＋4x； ( 3) y ＝1 － 2x1 ＋ 2x ； ( 4) y ＝2 － sin x2 ＋ sin x. [ 解析 ] (1) ( 配方法 ) ：由 3 ＋ 2 x － x2≥ 0 ，得－ 1 ≤ x ≤ 3. ∵ y ＝ 4 － －  x － 1 2＋ 4 ， ∴ 当 x ＝ 1 时， ym in＝ 2. 当 x ＝－ 1 或 3 时， ym ax＝ 4. ∴ 函数值域为 [ 2,4 ] ． (2) ∵ 函数 y ＝ x ＋4x是定义域为 { x | x ≠ 0} 上的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论 x 0 时，即可知 x 0 时的最值和值域． ∵ 当 x 0 时， y ＝ x ＋4x≥ 2 x 4x＝ 4 ， 当且仅当 x ＝ 2 时，等号成立， ∴ 当 x 0 时， y ≤ － 4. 综上，函数的值域为 ( － ∞ ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ) ． ( 3) 解法 1 ： ( 分离常数法 ) ： f ( x ) ＝1 － 2x1 ＋ 2x＝21 ＋ 2x－ 1 ，因为 1 ＋ 2x＞ 1,0 ＜21 ＋ 2x＜ 2 ，所以－ 1 ＜21 ＋ 2x－ 1 ＜ 1 ，故所求值域为 ( － 1,1) ． 解法 2 ： ( 利用反函数法 ) ： 由 y ＝1 － 2x1 ＋ 2x得 2x＝1 － y1 ＋ y＞ 0 ，所以 y ∈ ( － 1,1) ． (4) ( 利用三角函数有界性 ) 由 y ＝2 － sin x2 ＋ sin x， 解得 sin x ＝－ 2 y ＋ 2y ＋ 1， ∵ － 1 ≤ sin x ≤ 1 ， ∴ － 1 ≤－ 2 y ＋ 2y ＋ 1≤ 1. 由－ 2 y ＋ 2y ＋ 1≤ 1 得 y － 1 或 y ≥13， 由－ 2 y ＋ 2y ＋ 1≥ － 1 得，－ 1 y ≤ 3 ， ∴ 所求函数值域为 [13 ,3] ． ( 你会用分离常数求解吗。 ) 求函数的单调区间 ( 文 ) 求出下列函数的单调区间： (1) f ( x ) ＝ | x2－ 4 x ＋ 3| ； (2) f ( x ) ＝ lo g2( x2－ 1) ． [ 思路分析 ] 注意 (1) 函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数并作出图像求解； (2) 中的函数为函数 y ＝ log2u ， u ＝ x2－ 1 的复合函数，要注意其定义域． [ 规范解答 ] ( 1) 先作出函数 y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 的图像，由于绝对值的作用，把 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图像．如图 ( 1) 所示． 由图可知，函数的增区间为 [ 1,2] ， (3 ，＋ ∞ ) ， 减区间为 ( － ∞ ， 1) ， ( 2 ,3] ． ( 2) 函数的定义域为 x2－ 1 0 ， 即 { x | x 1 或 x － 1} ． 令 u ( x ) ＝ x2－ 1 ，图像如图 ( 2) 所示． 由图像可知， u ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1) 上是减函数，在 (1 ，＋ ∞ )上是增函数． 而 f ( u ) ＝ log2u 是增函数． 故 f ( x ) ＝ log2( x2－ 1) 的单调增区间是 (1 ，＋ ∞ ) ， 单调减区间是 ( － ∞ ，－ 1) ． ( 理 ) 求下列函数的单调区间，并指出其增减性． ( 1) y ＝ a 1 － x2( a 0 ，且 a ≠ 1) ； ( 2) y ＝ lo g 12 ( 4 x － x2) ． [ 思路分析 ] 利用复合函数的判别方法判断该类题目． ( 1) 的复合关系为 y ＝ at， t ＝ 1 － x2； ( 2) 的复合关系为 y ＝ lo g 12 t ， t ＝ 4 x － x2. [ 规范解答 ] (1) 令 t ＝ 1 － x2，则 t ＝ 1 － x2的递减区间是 [0 ，＋ ∞ ) ，递增区间是 ( － ∞ ， 0] ． 又当 a 1 时， y ＝ at在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是增函数； 当 0 a 1 时， y ＝ at在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是减函数． ∴ 当 a 1 时，函数的单调减区间是 [0 ，＋ ∞ ) ，单调增区间是 ( － ∞ ， 0] ； 当 0 a 1 时，函数的单调减区间是 ( － ∞ ， 0] ，单调增区间是 [0 ，＋ ∞ ) ． ( 2) 由 4 x － x20 ，得函数的定义域是 ( 0,4) ． 令 t ＝ 4 x － x2， ∵ t ＝ 4 x － x2＝－ ( x － 2)2＋ 4 ， ∴ t ＝ 4 x － x2的递减区间是 [ 2,4) ，递增区间是 ( 0,2] ． 又 y ＝ log 12 t 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， ∴ 函数的单调减区间是 ( 0,2] ，单调增区间是 [ 2, 4) ． [ 方法总结 ] ( 1 ) 复合函数 y ＝ f [ g ( x )] 的单调规律是 “ 同则增，异则减 ” ，即 f ( u ) 与 u ＝ g ( x ) 若具有相同的单调性，则 f [ g ( x )]为增函数，若具有不同的单调性，则 f [ g ( x )] 必为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是： ① 求出复合函数的定义域； ② 把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性； ③ 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④ 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性． ( 2) 求函数的单调区间 ( 即判断函数的单调性 ) ，一般有以下几种方法： ① 图像法． ② 定义法． ③ 利用已知函数的单调性，如函数 y ＝ x 与 y ＝1x的单调性( 一增一减 ) 等． ④ 利用导数：设函数 y ＝ f ( x ) 在某个区间内可导，如果 f ′ ( x ) 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′ ( x ) 0 ，则 f ( x ) 为减函数． ⑤ 如果函数的解析式中含有参数 ( 字母 ) ，往 往需要考虑分类讨论的思想方法． ( 文 ) 求函数 y ＝ lo g13 ( x2－ 4 x ＋ 3) 的单调区间． [ 解析 ] 令 u ＝ x2－ 4 x ＋ 3 ，原函数可以看作 y ＝ log 13 u 与 u＝ x2－。