北师大版高考数学一轮总复习21函数及其表示

北师大版高考数学一轮总复习21函数及其表示内容摘要：

1) 是不同函数． ∵ 第一个函数的定义域为 { x | x ∈R ， x ≠ 0} ，第二个函数的定义域为 R ； ( 2) 是不同函数． ∵ 第一个函数的定义域为 R ，第二个函数的定义域为 { x | x ∈ R ， x ≠ 0} ； ( 3) 是同一函数． ∵ x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们只不过是同一函数的不同方式的表示 . 求函数的定义域 (1) 求函数 f ( x ) ＝lg  x2－ 2 x 9 － x2的定义域； (2) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0,1] ，求下列函数的定义域：① f ( x2) ； ② f ( x － 1) ； (3) 已知函数 f [ lg ( x ＋ 1) ] 的定义域是 [ 0,9 ] ，求函数 f (2x) 的定义域． [ 思路分析 ] 定义域是指自变量 x 的取值范围，尤其是在复合函数中要特别注意． [ 规范解答 ] ( 1) 要使函数有意义， 则只需 x2－ 2 x 0 ，9 － x20 ， 即 x 2 或 x 0 ，－ 3 x 3 ，解得－ 3 x 0 或 2 x 3. 故函数的定义域是 ( － 3,0) ∪ ( 2,3) ． ( 2) ①∵ f ( x ) 的定义域是 [ 0,1] ， ∴ 要使 f ( x2) 有意义，则必有 0 ≤ x2≤ 1 ，解得－ 1 ≤ x ≤ 1. ∴ f ( x2) 的定义域为 [ － 1, 1] ． ② 由 0 ≤ x － 1 ≤ 1 ，得 1 ≤ x ≤ 2. ∴ 1 ≤ x ≤ 4.( x ≥ 0 时， x 才有意义 ) ∴ 函数 f ( x － 1) 的定义域为 [ 1,4] ． ( 3) ∵ f [ lg ( x ＋ 1) ] 的定义域为 [ 0,9] ， ∴ 0 ≤ x ≤ 9,1 ≤ x ＋ 1 ≤ 10 ， ∴ 0 ≤ lg ( x ＋ 1) ≤ 1 ， ∴ f ( x ) 的定义域为 [ 0,1] ． 由 0 ≤ 2x≤ 1 ，得 x ≤ 0. ∴ f (2x) 的定义域为 ( － ∞ ， 0] ． [ 方法总结 ] (1) 若函数是以解析式的形式给出的，它的定义域就是使解析式有意义的自变量取值的集合． (2) 已知 f ( x ) 的定义域求 f ( g ( x )) 的定义域，相当于已知 g ( x )的值域求 x 的定义域．也就是说，若 f ( x ) 的定义域为 D ，则 f ( g ( x ))的定义域是使 g ( x ) ∈ D 有意义的 x 的集合． (3) 已知 f ( g ( x )) 的定义域求 f ( x ) 的定义域，相当于已知 g ( x )的定义域求 g ( x ) 的值域．也就是说，若 f ( g ( x )) 的定义域为 D ，则 g ( x ) 在 D 上的值域就是 f ( x ) 的定义域 . ( 文 ) ( 2020 广东高考 ) 函数 y ＝lg  x ＋ 1 x － 1的定义域是 ( ) A ． ( － 1 ，＋ ∞ ) B ． [ － 1 ，＋ ∞ ) C ． ( － 1,1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) D ． [ － 1,1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) [ 答案 ] C [ 解析 ] 本题考查定义域求 法． 要使函数有意义，须 x ＋ 1 0x － 1 ≠ 0，解得 x － 1 且 x ≠ 1 ， 即 x ∈ ( － 1,1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ．故选 C. ( 理 ) 求下列函数的定义域： ( 1) y ＝ x ＋ 1 ＋12 － x； ( 2) 设函数 f ( x ) ＝ ln1 ＋ x1 － x，求函数 g ( x ) ＝ f (x2) ＋ f (1x) 的定义域． [ 解析 ] ( 1) 要使函数有意义，必须满足 x ＋ 1 ≥ 02 － x ≠ 0 ⇒ x ≥ － 1 ，x ≠ 2 ，即 x ≥ － 1 且 x ≠ 2. 故所求函数的定义域为 { x | x ≥ － 1 ，且 x ≠ 2} ． ( 2) 由1 ＋ x1 － x0 知－ 1 x 1 ， ∴ － 1x21 ①－ 11x1 ②， 由 ① 得－ 2 x 2 ，由 ② 得 x 1 或 x － 1 ， 因此－ 2 x － 1 或 1 x 2. 所以函数 g ( x ) 的定义域为 ( － 2 ，－ 1) ∪ ( 1,2) . 求函数的解析式 (1) 已知 fx ＋1x＝ x3＋1x3 ，求 f ( x ) ； (2) 已知 f2x＋ 1 ＝ lg x ，求 f ( x ) ； (3) 已知 f ( x ) 是一次函数，且满足 3 f ( x ＋ 1) － 2 f ( x － 1) ＝ 2 x ＋17 ，求 f ( x )。