北师大版高考数学一轮总复习103变量间的相关关系

北师大版高考数学一轮总复习103变量间的相关关系内容摘要：

1 ～ 4 月份用水量 ( 单位：百吨 ) 的一组数据， 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4 3 由其散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 y ＝－ x ＋ a ，则 a ＝ ______. [ 答案 ] 5. 25 [ 解析 ] a ＝ y－ － b x－ ＝ ＋ ＝ 5. 课堂典例讲练 山东鲁洁棉业公司 的科研人员在 7 块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据 ( 单位： kg) ： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455 (1) 画出散点图； (2) 判断是否具有相关关系． 利用散点图判断两个变量的相关关系 [ 思路分析 ] ( 1) 用 x 轴表示化肥施用量， y 轴表示棉花产量，逐一画点． ( 2) 根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系． [ 规范解答 ] ( 1) 散点图如图所示 ( 2) 由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系． [ 方法总结 ] 利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有线性相关关系． 根据两个变量 x ， y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系 _______ _ ( 填 “ 是 ” 与“ 否 ” ) ． [ 答案 ] 否 [ 解析 ] 从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系 . 利用回归方程对总体进行估计 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (t) 与对应的生产能耗 y ( 吨标准煤 ) 的几组对应数据 . x 3 4 5 6 y 3 4 ( 1) 请 画出上表数据的散点图； ( 2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x的线性回归方程 y ＝ bx ＋ a ； ( 3) 已知该厂技改前 100t 甲产品的生产能耗为 90t 标准煤，试根据 ( 2) 求出的线性回归方程，预测生产 100t 甲产品的生产能耗比技改前降低多少 t 标准煤。 ( 参考数值： 3 ＋ 4 3 ＋ 5 4 ＋ 6 ＝ ) [ 思路分析 ] ( 2) 问利用公式求 a ， b 即可求出线性回归方程． ( 3) 问将 x ＝ 100 代入回归直线方程即可． [ 规范解答 ] ( 1) 由题设所给数据，可得散点图如下图． ( 2) 由表中数据，计算得： i ＝ 14x2i＝ 86 ， x ＝3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 64＝ ， y ＝ ＋ 3 ＋ 4 ＋ 4＝ ， 已知 i ＝ 14xiyi＝ ， 所以，由最小二乘法确定的回归直线方程的系数为： b ＝i ＝ 14xiyi－ 4 x yi ＝ 14x2i－ 4 x2＝ － 4 86 － 4 2 ＝ ， a ＝ y － b^x ＝ － ＝ . 因此，所求的线性回归方程为 y ＝ x ＋ . ( 3) 由 ( 2) 的回归方程及技改前生产 100 t 甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90 － ( 100 ＋ 0. 35) ＝ ( t ) 标准煤． [ 方法总结 ] 最小二乘法 ( 1) 最小二乘法是 一种有效地求回归方程的方法，它保证了各点与此直线在整体上最接近，最能反映样本观测数据的规律． ( 2) 用最小二乘法求回归直线方程的步骤： 某考察团对全国 10 大城市的职工人均工资水平 x ( 千元 )与居民人均消费水平 y (。