北师大版高考数学一轮总复习12命题及其关系、充分条件与必要条件

北师大版高考数学一轮总复习12命题及其关系、充分条件与必要条件内容摘要：

＝ 0 ， a ， b ∈ R ，则 a ＝ b ＝ 0 ” 的逆否命题． 其中真命题的序号是 ________( 把所有真命题的序号填在横线上 ) ． [ 答案 ] ②③⑤ [ 解析 ] ① “ 全等三角形的面积相等 ” 的逆命题为 “ 面积相等的三角形全等 ” ，显然该命题为假命题； ② “ 若 ab ＝0 ，则 a ＝ 0 ” 的否命题为 “ 若 ab ≠ 0 ，则 a ≠ 0 ” ，而由 ab ≠ 0可得 a ， b 都不为零，故 a ≠ 0 ，所以该命题是真命题； ③ 由于原命题 “ 正三角形的三个角均为 60176。 ” 是一个真命题，故其逆否命题也是真命题； ④ 易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假； ⑤ 逆命 题为 “ a ， b ∈ R ，若 a ≠ 0 或 b ≠ 0 ，则 a2＋ b2≠ 0 ” 为真命题 . 充分条件与必要条件的判定 指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件。 ( 1) p ： a ＋ b ＝ 2 ， q ：直线 x ＋ y ＝ 0 与圆 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ 2相切； ( 2) p ： | x |＝ x ， q ： x2＋ x ≥ 0 ； ( 3) 设 l ， m 均为直线， α 为平面，其中 l α ， m α ， p ： l ∥ α ， q ： l ∥ m ； ( 4) 设 α ∈－π2，π2， β ∈－π2，π2， p ： α β ， q ： tan α tan β . [ 思路分析 ] ( 1) 先分清命题的条件与结论； ( 2) 分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证． [ 规范解答 ] (1) 若 a ＋ b ＝ 2 ，圆心 ( a ， b ) 到直线 x ＋ y ＝ 0 的距离 d ＝| a ＋ b |2＝ 2 ＝ r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则 | a ＋ b |＝ 2 ， ∴ a ＋ b ＝ 177。 2 ， 故 p 是 q 的充分不必要条件． (2) 若 | x |＝ x ，则 x2＋ x ＝ x2＋ | x |≥ 0 成立； 反之，若 x2＋ x ≥ 0 ，即 x ( x ＋ 1) ≥ 0 ，则 x ≥ 0 或 x ≤ － 1. 当 x ≤ － 1 时， | x |＝－ x ≠ x ， 因此， p 是 q 的充分不必要条件． (3) ∵ l∥ α ⇒ l∥ m ，但 l∥ m ⇒ l∥ α ， ∴ p 是 q 的必要不充分条件． (4) ∵ x ∈－π2，π2时，正切函数 y ＝ tan x 是单调递增的， ∴ 当 α ∈－π2，π2， β ∈－π2，π2，且 α β 时， tan α tan β ，反之也成立． ∴ p 是 q 的充要条件． [ 方法总结 ] 充分条件与必要条件的判断方法有： 1 ．利用定义判断 (1) 若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件； (2) 若 q ⇒ p ，则 p 是 q 的必要条件； (3) 若 p ⇒ q 且 q ⇒ p ，则 p 是 q 的充要条件； (4) 若 p ⇒ q 且 q ⇒ p ，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5) 若 p ⇒ q 且 q ⇒ p ，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6) 若 p ⇒ q ，且 q ⇒ p ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 2 ．利用集合判断 记条件 p 、 q 对应的集合分别为 A 、 B ，则： 若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件； 若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 A ⊇ B ，则 p 是 q 的必要条件； 若 A B ，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B ，且 A ⊉ B ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． ( 文 ) ( 2020 天津高考 ) 设 a 、 b ∈ R ，则 “ ( a － b ) a20 ” 是“ a b ” 的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [ 答案 ] A [ 解析 ] 因为 a2≥ 0 ，而 ( a － b ) a20 ，所以 a － b 0 ，即a b ；由 a b ， a2≥ 0 ，得到 ( a － b ) a2≤ 0 ，所以 ( a － b )。