北师大版高考数学一轮总复习11集合的概念及其运算

北师大版高考数学一轮总复习11集合的概念及其运算内容摘要：

[ 答案 ] 1 [ 解析 ] 若 B ⊆ A ，则 m 2 ＝ 2 m － 1 ，即 ( m － 1) 2 ＝ 0 ， 即 m ＝ 1. 当 m ＝ 1 时， A ＝ { － 1,3,1 } ， B ＝ {3,1 } ，显然 B ⊆ A . ( 理 ) 已知集合 A ， B ， C ，且 A ⊆ B ， A ⊆ C ，若 B ＝ {0,1,2,3,4} ，C ＝ {0,2,4,8} ，则集合 A 最多会有 ________ 个元素． [ 答案 ] 3 [ 解析 ] 满足 A ⊆ B ， A ⊆ C 且 A 中元素个数最多，则 A ＝{0,2 ,4} ，所以最多有 3 个元素． 课堂典例讲练 已知 A ＝ { a ＋ 2 ， ( a ＋ 1)2， a2＋ 3 a ＋ 3} ，若 1 ∈ A ，求实数 a 的值． [ 思路分析 ] ∵ 1 ∈ A ，则 a ＋ 2 ， ( a ＋ 1)2， a2＋ 3 a ＋ 3 都可能为 1 ，则需分类讨论解决，且必须验证元素的互异性． 集合的基本概念 [ 规范解答 ] ( 1) 若 a ＋ 2 ＝ 1 ， 则 a ＝－ 1 ，此时 A ＝ {1,0,1}与集合中元素的互异性矛盾 ( 舍去 ) ． ( 2) 若 ( a ＋ 1)2＝ 1 ，则 a ＝ 0 或 a ＝－ 2. 当 a ＝ 0 时， A ＝ {2,1,3} ，满足题意； 当 a ＝－ 2 时， A ＝ {0,1,1} 与集合中元素的互异性矛盾 ( 舍去 ) ． ( 3) 若 a2＋ 3 a ＋ 3 ＝ 1 ，则 a ＝－ 1( 舍去 ) ，或 a ＝－ 2( 舍去 ) ． 综上所述， a ＝ 0. [ 方法总结 ] 1. 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集，是函数的定义域，还是函数的值域等． 2 ．把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用 集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确． ( 文 ) 定义集合 A * B ＝ { x | x ∈ A 且 x ∉ B } ，若 A ＝ {1, 3,5,7} ， B＝ {2,3,5} ，则 A * B 中元素的个数为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] ∵ A * B ＝ {1 ,7 } ， ∴ A * B 中元素的个数为 2. ( 理 ) 已知集合 A 是由方程 ax2－ 3 x ＋ 2 ＝ 0 的所有实根组成的集合，若 A 是空集，则实数 a 的取值范围 ___ _____ ． [ 答案 ] ( 98 ，＋ ∞ ) [ 解析 ] 因为 A 是空集，所以方程 ax2－ 3 x ＋ 2 ＝ 0 无实根． ∴ a ≠ 0. 且 Δ ＝ ( － 3)2－ 8 a 0 ，解得 a 98. 所以 a 的取值范围是 (98，＋ ∞ ). 集合间的基本关系 已知集合 A ＝ { x | x2－ 3 x － 10 ≤ 0} ． (1) 若 B ⊆ A ， B ＝ { x | m ＋ 1 ≤ x ≤ 2 m － 1} ，求实数 m 的取值范围； ( 2) 若 B ＝ { x | m － 6 ≤ x ≤ 2 m － 1} ，是否存在实数 m 使得 A＝ B 成立。 (3) 若 A ⊆ B ， B ＝ { x | m － 6 ≤ x ≤ 2 m － 1} ，求实数 m 的取值范围． [ 思路分析 ] 集合间的包含、相等关系，关键是搞清 A 、B 两集合谁是谁的子集， B ⊆ A 说明 B 是 A 的子集，即集合 B中元素都在集合 A 中，注意 B 是 ∅ 的情况．同样 A ⊆ B ，说明A 是 B 的子集，此时注意 B 是不是 ∅ . A ＝ B ，说明两集合元素完全相同． [ 规范解答 ] ( 1) 由 A ＝ { x | x2－ 3 x － 10 ≤ 0} ， 得 A ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 5} ， ∵ B ⊆ A ， ∴① 若 B ＝ ∅ ，则 m ＋ 1 ＞ 2 m － 1 ， 即 m ＜ 2 ，此时满足 B ⊆ A . ② 若 B ≠ ∅ ， B ⊆ A 在数轴上表示为： 所以有 m ＋ 1 ≤ 2 m － 1m ＋ 1 ≥ － 22 m － 1 ≤ 5.解得 2 ≤ m ≤ 3. 由 ①② 得， m 的取值范围是 ( － ∞ ， 3] ． ( 2) 若 A ＝ B ，则必有 m － 6 ＝－ 22 m － 1 ＝ 5，方程组无解， 即不存在 m 使得 A ＝ B . ( 3) 若 A ⊆ B ，在数轴上表示为 则依题意应有 2 m － 1 ＞ m － 6m － 6 ≤ － 22 m － 1 ≥ 5. 解得 m ＞－ 5m ≤ 4m ≥ 3，故 3 ≤ m ≤ 4 ， ∴ m 的取值范围是 [ 3,4] ． [ 方法总结 ] ( 1) 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．。