初三复习专题--二次函数(二)

初三复习专题--二次函数(二)内容摘要：

法是一种重要的数学方法 , 用途非常广泛 ,配方时 ,先提取二次项系数 ,将二次项系数化为 1,原常数项不必参与提取 ,然后在括号里配上新常数项 一次项系数一半的平方 . 配方时特别注意常数项的计算不能出错 . ⑵ 牢记顶点坐标公式非常必要 , 有时直接用公式也不失为一种简洁的方法 . 例 ,学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间 χ(单位：分 )之间满足函数关系 :y=++43(0≤χ≤30).y值越大 ,表示接受能力越强 .⑴ χ在什么范围内 ,学生的接受能力逐步增强。 χ在什么范围内 ,学生的接受能力逐步降低。 ⑵第 10分钟时 ,学生的接受能力是多少。 ⑶第几分钟时 ,学生的接受能力最强。 分析 :本题主要考查二次函数的图象的性质 ,主要是顶点、对称轴以及在对称轴两侧 y随 χ的增大而变化等知识在实际问题中的应用 . 解 :⑴ y=++43=(χ13)2+(0 ≤χ≤30).由二次函数的性质可知 :当 0≤χ≤13时 ,学生的接受能力逐步增强 . 当 13＜ χ≤30时 ,学生的接受能力逐步降低 . ⑵ 第 10分钟时 ,学生的接受能力是 59. ⑶ 二次函数图象的顶点的纵坐标 ,就是函数y的最大值或最小值 . 由于函数的二次项系数 a=0,∴ 第 13分钟学生的接受能力最强 . 例 y=χ22χ3,且 2≤χ≤ y的最大值或最小值 . 分析 :本例中自变量 χ的取值范围不再是全体实数 ,因此画出的图象是有限的一部分 ,先画出图象 , 由图象观察出最大值和最小值 . O χ y 4 1 2 3 解 : y=χ22χ3=(χ1)24 ∴ 顶点坐标为 (1,4). 当 2≤χ≤3时 ,由图象知 当 χ=2时 , y最小值 =3。 当 χ=3时 , y最大值 =0. 说明 :本例中函数自变量的取 值范围受限制 ,因此考虑最值情况必须在自变量的取值范围之内 ,结合图象可知 ,最高点的纵坐标即最大值 ,最低点的纵坐标即最小值 .切不可以一般情况下的顶点坐标来确定最大 (小 )值 . 说明 :比较同一抛物线上几个 点的纵坐标的大小 ,可以用计算求值再比较的方法 ,更多是运用函数的增减性 ,以及结合图象 ,描出点的大致位置 ,再根据点的 高低确定纵坐标的大小 .所以研究函数问题 ,一般都应与图象结合起来 ,更形象、简捷 . 分析 :一 :将各点的横坐标分别代入 解析式 ,求出对应的 y y y3的值 ,再比较其大小 ,但本例计算较繁 ,比较大小困难 ,不是理想的方法 . 二 :根据二次函数图象的特征来比较 ,利用增减性及点在抛物线上的大致位置可以确定 y y y3的大小 . D H χ 例 y=χ22χ3的图象与 χ轴交于 A、 B两点 (A在 B的左侧 ),与 y轴交于点 C,顶点为 P.⑴ 求 A 、 B、 C三点的坐标。 ⑵ 求 AB的长。 ⑶ 求四边形 ACPB的面积 . O B P C A y 分析 :⑴ A、 B是 χ轴上的点 ,它们的纵坐标是 0,故令y=0,得方程 χ22χ3=0,解方程可求得对应的横坐标。 C在 y轴上 ,它的横坐标为 0,故令 χ=0可求得对应纵坐标 . ⑵ 一种考虑是根据已求得的 A、 B两点的坐标来求得。 另一种考虑是用 │χBχA│, 结合根与系数的关系 , 整体求解 . ⑶ 结合图形 ,将四边形ABPC分割成两个直角三角形和一个梯形 , 再求出它们的面积之和 . 解 :⑴ 令 y=0,则 χ2χ３ =0,解得 χ1=1,χ2=3.∵ A在 B的左侧 ,∴ A(1,0),B(3,0) 令 χ=0,则 y=3． ∴ C(0,3) O B χ P C A y 例 y=χ22χ3的图象 与 χ轴交于 A、B两点 (A在 B的左侧 ),与 y轴交于点 C,顶点为 P.⑴ 求A 、 B、 C三点的坐标。 ⑵ 求 AB的长。 ⑶ 求四边形ACPB的面积 . H (3)求平面直角坐标系中不规则多边形的面积时 ,一般通过分割成直角三角形和直角梯形来完成 ,或有一边在坐标轴上的三角形来完成 . 例 y=χ22(m+1)χ+2(m1)⑴ 求证 :不论m取何实数，抛物线与 χ轴总有两个交点；⑵若抛物线与 χ轴的一个交点为（３ ,0),试求 m的值及另一个交点的坐标。 ⑶ 若抛物线与 χ轴的两个交点在(4,0)的两侧 ,试确定 m的取值范围 . 分析 证明△ 0. : ⑴ 要证明抛物线与 χ轴有两个交点 ,只需证明△ 0. ⑵ 将已知点的坐标代入解析式 ,可求 m的值。 再令 y=0,解方程可求另一个交点的坐标 . ⑶ 由于交点在 (4,0)的两侧 ,可设 χ14,χ24,则 (χ14)(χ24)0,根据根与系数的关系可求得 m的范围 . (1)证明 :△ =[2(m+1)]24 2(m1) =4m2+8m+48m+8=4m2+12. ∵ m2≥0,∴ 4m2≥0,∴ 4m2+12＞ 0,∴ △ ＞ 0. ∴ 不论 m取何实数，抛物线与 χ轴总有两个交点 . 例 y=χ22(m+1)χ+2(m1)⑴ 求证 :不论 m取何实数，抛物线与 χ轴总有两个交点； ⑵若抛物线与 χ轴的一个交点为（３ ,0),试求 m的值及另一个交点的坐标。 ⑶ 若抛物线与 χ轴的两个交点在 (4,0)的两侧 ,试确定 m的取值范围 . 例 y=χ22(m+1)χ+2(m1)⑴ 求证 :不论 m取何实数，抛物线与 χ轴总有两个交点； ⑵若抛物线与 χ轴的。