冀教版数学九上323矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明

冀教版数学九上323矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明内容摘要：

． (1)试判断四边形 PQEF的形状，并证明； (2)PE是否总过某一定点 ?并说明理由； (3)四边形 PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值 ?最大值和最小值各是多少 ? 分析： (1)猜想四边形 PQEF为正方形，先证它为菱形， 再证有一直角即可； (2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即 AP CE，四边形 APCE为平行四边形，易知 PE与 AC平分于点 O； (3)此问中显然当点 P， Q， E， F分别运动至与正方形 ABCD各顶点重合时面积最大，分 析最小值时的情形可根据 S 正 = PE2，而 PE最小时是 PE⊥ AB，此时 PE=BC． 解： (1)四边形 PQEF为正方形，证明如下： 在正方形 ABCD中， ∵ AB=BC=CD=DA， AP=BQ=CE=DF， ∴ BP=QC=ED=FA． 又 ∵∠ BAD=∠ B=∠ BCD=∠ D=90176。 ， ∴△ AFP≌△ BPQ≌△ CQE≌△ DEF． ∴ FP=PQ=QE=EF， ∠ APF=∠ PQB， ∴∠ FPQ=90176。 ． ∴ 四边形 PQEF为正方形． (2)连接 AC交 PE于点 O． ∵ AP EC， ∴ 四边形 APCE为 平行四边形． 又 ∵ O为对角线 AC的中点， ∴ 对角线 PE 总过 AC的中点． (3)当 P运动至与 B重合时，四边形 PQEF面积最大，等于原正方形面积， 当 PE⊥ AB时，四边形 PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半． 小结： 探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题． 例 如图所示，在 △ ABC中， ∠ ACB=90176。 ， AC=2， BC=3， D是 BC边上一点，直线 DE⊥ BC于 D，交 AB于 E， CF//AB，交直线 DE于 F，设 CD=x． (1)当 x取何值时，四边 形 EACF是菱形 ?请说明理 由； (2)当 x取何值时，四边形 EACD的面积等于 2。 分析：。