32均值不等式(二)学案人教b版必修5

32均值不等式(二)学案人教b版必修5内容摘要：

自主探究 证明 当 x∈ (0，＋ ∞ )时，设 x1x2， 则 y1－ y2＝ x1＋ ax1－ x2－ ax2 ＝ (x1－ x2)＋ ax2－ x1x1x2＝ x1－ x2x1x2－ ax1x2. ∴ 当 x x2∈ (0， a)时， y1－ y20，即 y1y2； 当 x x2∈ ( a，＋ ∞ )时， y1－ y20，即 y1y2. ∴ y在 (0， a)上是减函数，在 ( a，＋ ∞ )上是增函数 ． 若求 y＝ sin x＋ 4sin x， x∈ (0， π)的最小值 ． 可令 t＝ sin x∈ (0， 1]， 则 y＝ t＋ 4t在 t∈ (0,1]上是减函数 ． ∴ y≥ 5，当 t＝ 1，即 sin x＝ 1， x＝ π2时取 “ ＝ ” ． 对点讲练 例 1 D [f(x)＝ x2－ 4x＋ 52x－ 4 ＝x－ 22＋ 12x－ 2 ＝ 12 x－ 2＋ 1x－ 2 ≥ 1. 当且仅当 x－ 2＝ 1x－ 2，即 x＝ 3 时等号成立 ． ] 变式训练 1 解 因为 x54，所以 5－ 4x0， 所以 f(x)＝ 4x－ 2＋ 14x－ 5＝－  5－ 4x＋ 15－ 4x ＋ 3 ≤ － 2 5－ 4x 15－ 4x＋ 3＝－ 2＋ 3＝ 1 当 5－ 4x＝ 15－ 4x，即 x＝ 1 时， f(x)max＝ 1. 例 2 解 方法一 ∵ 1x＋ 9y＝ 1， ∴ x＋ y＝ (x＋ y) 1x＋ 9y ＝ 10＋ yx＋ 9xy . ∵ x0， y0， ∴ yx＋ 9xy ≥ 2 yx9xy ＝ 6. 当且仅当 yx＝ 9xy ，即 y＝ 3x时，取等号 ． 又 1x＋ 9y＝ 1， ∴ x＝ 4， y＝ 12. ∴ 当 x＝ 4， y＝ 12 时， x＋ y取最小值 16. 方法二 由 1x＋ 9y＝ 1，得 x＝ yy－ 9， ∵ x0， y0， ∴ y9. x＋ y＝ yy－ 9＋ y＝ y＋ y－ 9＋ 9y－ 9 ＝ y＋ 9y－ 9＋ 1 ＝ (y－ 9)＋ 9y－ 9＋ 10.∵ y9， ∴ y－ 90， ∴ y－ 9＋ 9y－ 9＋ 10≥ 2 y－ 9 9y－ 9＋ 10＝ 16， 当且仅当 y－ 9＝ 9y－ 9，即 y＝ 12 时取等号 ． 又 1x＋ 9y＝ 1，则 x＝ 4， ∴ 当 x＝ 4， y＝ 12 时， x＋ y取最小值 16. 变式训练 2 解 方法一 ∵ a＋ b＋ 3＝ ab≤ a＋ b24 ， 设 a＋ b＝ t， t0，则 t2≥ 4t＋ 12. 解得： t≥ 6 (t≤ － 2 舍去 )， ∴ (a＋ b)min＝ 6. 方法二 ∵ ab＝ a＋ b＋ 3， ∴ b＝ a＋ 3a－ 10， ∴ a1. ∴ a＋ b＝ a＋ a＋ 3a－ 1＝ a＋ 4a－ 1＋ 1 ＝ (a－ 1)＋ 4a－ 1＋ 2≥ 2 a－ 1 4a－ 1＋ 2＝ 6. 当且仅当 a－ 1＝ 4a－ 1。