20xx高中数学人教b版必修2割圆术青年教师参赛教学设计2

20xx高中数学人教b版必修2割圆术青年教师参赛教学设计2内容摘要：

间的 递推关系 并不会因为初始值的不同而发生改变 .随着正多边形边数的增加 ，最终的效果是一致的 . 【教师总结】 回味 刘徽的 割圆术， 他是以圆内接正六边形的面积为起始， 借助 6x 来求 6S ，然后在 6x ， 6S 的基础上，求 12x ， 12S ，依次类推， „„，要求 2nS ，只需 借助于 nx ， nS ，得到了圆内接正多边形的面积的递推公式。 【设计意图】让学生通过课外阅读与课前学习，以小组交流的形式汇报阅读成果 . 为本节课内针对刘徽的割圆术的再思考奠定了必要的认知基础，同时也让学生认识到在数学学习中“ 阅读 ． ． ”的重要性． 【师生互动 】 在算完正六边形的面积后，为什么不算正七边形的面积，而是选 择计算正十二边形的面积。 （ 请看视频 ） 【学生活动 】分析与讨论在算完正六边形的面积后，不算正七边形面积的理由 . 【教师总结】 正十二边形的面积容易计算，关键在于在正六边形的基础上，增加的顶点 B 是CD 的中点，根据垂径定理，正十二边形的“特征三角形”的底就是半径 1， 高其实是正六 ． ． ． ． ． ．边形的边长的一半 ． ． ． ． ． ． ． ． ． 【设计意图】正六边形的面积算完后，为什么直接跳到算正十二边形的面积。 正是因为我们可以借助正六边形的边长，来求正十二边形的面积（及边长） . 而知道正六边形的边长和面积，却没有为算正七边形的面积带来任何帮 助 . 这样设问，是为了让学生在计算的过程中体会从正六边形过渡到正十二边形的合理性．同时让学生体会其中蕴含的递归思想，发现问题本质，为下面的递归关系的建立奠定基础． （三）完善方法 问题 1：是否有其他办法可以求圆内接正多边形的面积 ? 能否 把刚才的方法推广到一般情形。 （ 请看视频 ） 【学生活动 】学生介绍不同于课本教材的圆内接正十二边形的面积的求法 : 把正十二边形分割成十二个特征三角形，容易算得它的面积为： ）（）（ 22112CAOB211212 6C O B12 xSS  【学生活动 】那么正 2n 边形的面积 2nS 就等于 ：2 C O B 122 2 2 2nnnx nS n S n x    （ ） 【教师总结】 从此式看出：只需借助正 n 边形的边长 nx 来求正 2n 边形的面积 2nS ． 相比于之前介绍的递推公式 ))2(1121( 22 ）（ nnnn xxnSS ，表达式上更加简洁 . 同时，也要注意到：这两个面积递推公式，都是借助于 2nx 与 nx 之间的递推关系，其本质是一样的 . 【师生互动 】 这两种递推公式，哪一种在计算机里运行速度更快。 效率更高。 【学生活动 】后者在表达式上更加简洁，减少了开方运算的次数，效率更高。 【教师总结】 在 1800年前，刘徽只计算到了圆内接正 192边形的面积，相当于只迈开了六步。 现在，我们已拥有具有强大计算能力的计算机。 这个递推公式，恰好符合计算 机的迭代算法。 我们可以借助计算机来实现算法。 【设计意图】割圆术作为历史上第一个出现的完备性最好的求圆周率的方法，也并非在各个方面尽善尽美，因此引导学生在知识的获得之后，但作为课内针对学生课前阅读的“第一次思考”， 引导学生成功建立正 n 边形的边长与正 2n 边形的面积之间的递归关系，而且此面积递推公式比课本介绍的递推公式更加简洁，为后续计算边数更多的正多边形面积提供了一个可行、高效的方法，也为后续的程序的实现 提供了算法依据，让学生体会到“阅读”之后“ 思考 ． ． ”的重要性与必要性． （四）实现算法 回味此递推公式： 22 24nnxx  ，已知 6x ，求得 12x 后，再由 12x ，代入此式，求得 24x ，„„，依此类推，这是一种迭代的算法，而 Excel软件刚好有迭代的功能，我们就借助 Excel来实现算法 . （ 请 看视频 ） n x n。