北师大版高考数学一轮总复习84空间中的垂直关系

北师大版高考数学一轮总复习84空间中的垂直关系内容摘要：

如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠ ADC ＝ 45176。 ， AD ＝ AC ＝ 1 ， O 为 AC 的中点， PO⊥ 平面 ABCD . 证明： AD ⊥ 平面 P AC . 线面垂直的判定与性质 [ 思路分析 ] 只需证 AD ⊥ AC ，再利用线面垂直的判定定理即可． [ 规范解答 ] ∵∠ AD C ＝ 45176。 ，且 AD ＝ AC ＝ 1. ∴∠ DA C ＝ 90176。 ，即 AD ⊥ AC ， 又 PO ⊥ 平面 AB CD ， AD 平面 AB CD ， ∴ PO ⊥ AD ，而 A C ∩ PO ＝ O ， ∴ AD ⊥ 平面 P AC . [ 方法总结 ] 1. 证明直线和平面垂直的常用方法有： ① 判定定理； ② a ∥ b ， a ⊥ α ⇒ b ⊥ α ； ③ α ∥ β ， a ⊥ α ⇒ a⊥ β ； ④ 面面垂直的性质． 2 ．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 如图，已知 BD ⊥ 平面 ABC ， AC ＝ BC ， N 是棱 AB 的中点．求证： CN ⊥ AD . [ 解析 ] ∵ BD ⊥ 平面 AB C ， CN 平面 ABC ， ∴ BD ⊥ CN . 又 ∵ AC ＝ BC ， N 是 AB 的中点． ∴ CN ⊥ AB . 又 ∵ BD ∩ AB ＝ B ， ∴ CN ⊥ 平面 ABD . 而 AD 平面 ABD ， ∴ CN ⊥ AD . 面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥 P － AB CD 中，平面 P AD ⊥平面 AB CD ， AB ∥ DC ，已知 BD ＝ 2 AD ＝ 8 ， AB ＝ 2 DC ＝ 4 5 . M是 PC 上的一点，证明：平面 M BD ⊥ 平面 P AD . [ 思路分析 ] 证明 BD ⊥ 平面 P AD ，根据已知平面 P AD ⊥平面 AB CD ，只要证明 BD ⊥ AD 即可． [ 规范解答 ] 在 △ ABD 中，由于 AD ＝ 4 ， BD ＝ 8 ， AB ＝4 5 ， 所以 AD2＋ BD2＝ AB2.故 AD ⊥ BD . 又平面 P AD ⊥ 平面 AB CD ，平面 P AD ∩ 平面 AB CD ＝ AD ， BD 平面 AB CD ，所以 BD ⊥ 平面 P AD . 又 BD 平面 M BD ，故平面 M BD ⊥ 平面 P AD . [ 方法总结 ] 1. 证明平面与平面垂直，主要方法是判定定理，通过证明线面垂直来实现，从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决． 2 ．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转 化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来． 如图，在直三棱柱 ABC － A1B1C1中， A1B1＝ A1C1， D ， E分别是棱 BC ， CC1上的点 ( 点 D 不同于点 C ) ，且 AD ⊥ DE ， F 是B1C1的中点． 求证： ( 1) 平面 AD E ⊥ 平面 BCC1B1； ( 2) 直线 A1F ∥ 平面 AD E . [ 解析 ] ( 1) 因为 ABC － A1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1⊥ 平面 AB C ， 又 AD 平面 ABC ，所以 CC1⊥ AD . 又因为 AD。