北师大版高考数学一轮总复习42同角的三角函数基本关系式与诱导公式

北师大版高考数学一轮总复习42同角的三角函数基本关系式与诱导公式内容摘要：

＝3 22＋ 3 2 － 222＋ 1＝165. [ 方法总结 ] 1. 利用 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用sin αc os α＝ tan α ( α ≠ k π ＋π2， k ∈ Z ) 可以实现角 α 的弦切互化． 2 ．注意公式逆用及变形应用： 1 ＝ sin2α ＋ c os2α ， sin2α ＝ 1－ c os2α ， c os2α ＝ 1 － sin2α . 已知 sin α ＝13，则 tan α ＝ ________. [ 答案 ] 177。 24 [ 解析 ] ∵ sin α ＝130 ， ∴ α 为第一或第二象限角． 当 α 为第一象限角时， c os α ＝ 1 － sin2α ＝2 23， ∴ tan α ＝24； 当 α 为第二象限角时， c os α ＝－ 1 － sin2α ＝－2 23， ∴ tan α ＝－24. s in α 177。 c os α 与 sin α c os α 的关系 已知－π2 x 0 ， sin x ＋ c os x ＝15. ( 1) 求 sin x － c os x 的值； ( 2) 求3sin2x2－ 2sinx2c osx2＋ c os2x2tan x ＋1tan x的值． [ 思路分析 ] ( 1) 可与 sin2x ＋ c os2x ＝ 1 联立求出 sin x 和c os x ，再代入求值， ( 2) 中注意化简的方向性和目的性：切化弦、扩 角降幂，目的是化简为关于 sin x 和 c os x 的代数式． [ 规范解答 ] ( 1) 解法 1 ：联立方程：  sin x ＋ c os x ＝15， ①sin2x ＋ c os2x ＝ 1. ② 由 ① 得 sin x ＝15－ c os x ，将其代入 ② ，整理得 25c os2x － 5c os x － 12 ＝ 0. 因为－π2 x 0 ，所以 sin x ＝－35，c os x ＝45. 所以 sin x － c os x ＝－75. 解法 2 ： ① sin x ＋ c os x ＝15 ⇒125＝ ( sin x ＋ c os x )2＝ 1 ＋ 2sin x c os x ⇒ 2sin x c os x ＝－2425 ⇒ ( sin x － c os x )2＝ 1 － 2sin x c os x ＝4925， 由－π2 x 0 知， sin x 0 ， c os x 0. ∴ sin x － c os x 0 ，从而可得 sin x － c os x ＝－75. ( 2) 由 ( 1) 得，3sin2x2－ 2sinx2c osx2＋ c os2x2tan x ＋1tan x ＝2sin2x2－ sin x ＋ 1sin xc os x＋c os xsin x＝ sin x c os x (2 － c os x － sin x ) ＝－12252 －15＝－10 8125. [ 方法总结 ] s in x ＋ c os x ， sin x － c os x ， s in x c os x 之间的关系为： ( sin x ＋ c os x )2＝ 1 ＋ 2sin x c os x ， ( sin x － c os x )2＝ 1 － 2sin x c os x ， ( sin x ＋ c os x )2＋ ( sin x － c os x )2＝ 2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值． 已知 sin θ ＋ c os θ ＝15，且π2≤ θ ≤3π4，则 c os2 θ 的值是________ ． [ 答案 ] －725 解得 sin θ ＝45， c os θ ＝－35. ∴ c os2 θ ＝ c os2θ － sin2θ ＝－725. 解法 2 ： ∵ sin θ ＋ c os θ ＝15， ∴ 两边平方得 sin2θ ＋ 2s in θ c os θ ＋ c os2θ ＝125， 即 1 ＋ sin2 θ ＝125， ∴ sin2 θ ＝－。