北师大版高考数学一轮总复习34定积分与微积分基本定理(理)

北师大版高考数学一轮总复习34定积分与微积分基本定理(理)内容摘要：

0) ＝ ax20＋ c ( a ≠ 0) ， ∴ x20＝13，又 ∵ 0 ≤ x0≤ 1 ， ∴ x0＝33. 6 ． 若01(2 x ＋ k )d x ＝ 2 ，则 k ＝ ________. [ 答案 ] 1 [ 解析 ] 01 (2 x ＋ k )d x ＝ ( x 2 ＋ kx )| 10 ＝ 1 ＋ k ∴ 1 ＋ k ＝ 2 ， ∴ k ＝ 1. 课堂典例讲练 求下列定积分： (1)02(3 x2＋ 4 x3)d x ； (2) ∫π20sin2x2d x ； (3)12x － x2＋1xd x ； (4)01－ x2＋ 2 x d x ； (5)  11 ( x c os x － 5sin x ＋ 2) d x . 定积分的计算 [ 思路分析 ] 先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，再利用牛顿 — 莱布尼兹公式求解．当原函数较难求时，可考虑由其几何意义求得． [ 规范解答 ] (1)02(3 x2＋ 4 x3)d x ＝023 x2d x ＋024 x3d x ＝ x3|20＋ x4|20＝ 24. (2) 0π2sin2x2d x ＝0π21 － c os x2d x ＝0π212d x －0π2c os x2d x ＝12x π20－12sin x π20 ＝12 π2－ 0 －12(1 － 0) ＝12 π2－ 1 ＝π － 24. (3)12x － x2＋1xd x ＝12x d x －12x2d x ＋121xd x ＝x22|21－x33|21＋ ln x |21 ＝32－73＋ ln2 ＝ ln2 －56. (4) y ＝ － x2＋ 2 x ＝ 1 －  x － 1 2 ⇔ y ≥ 0 ， x － 1 2＋ y2＝ 1 ， 由图形可知：01－ x2＋ 2 x ＝π4. ( 5) 因为 f ( x ) ＝ x c os x － 5si n x 在 [ － 1,1] 上为奇函数， 所以 11f ( x )d x ＝ 0.  11 ( x c os x － 5sin x ＋ 2 ) d x ＝ 112d x ＝ 2 x |1－ 1 ＝ 4. [ 方法总结 ] ( 1) 利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因 此应注意掌握一些常见函数的导数． ( 2) 根据积分的几何意义可利用面积求积分． ( 3) 若 y ＝ f ( x ) 为奇函数，则 a － af ( x )d x ＝ 0. 求下列定积分． ( 1)12( x2＋ 2 x ＋ 1) d x ； ( 2)0π( sin x － c os x )d x ； ( 3)12|3 － 2 x |d x . [ 解析 ] ( 1)12( x2＋ 2 x ＋ 1) d x ＝12x2d x ＋122 x d x ＋ 121 d x ＝x。