北师大版高考数学一轮总复习23函数的奇偶性与周期性

北师大版高考数学一轮总复习23函数的奇偶性与周期性内容摘要：

f ( － x ) ＝ 2 f ( x )或 f ( x ) f ( － x ) ＝ f 2( x ) 或 f ( x )/ f ( － x ) ＝ 1. 则 f ( x ) 为偶函数． ( 2) 图像法：利用 “ 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称 ” 来判断． ( 3) 复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为 “ 同奇为奇，一偶则偶 ” ． (4) 性质法 偶函数的和、差、积、商 ( 分母不为零 ) 仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇 ( 偶 ) 数个奇函数的积、商 ( 分母不为零 ) 为奇 ( 偶 ) 函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集． 2 ．分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的化简解析式，判断 f ( x ) 与 f ( － x ) 的关系，得出结论，也可以利用图像作判断． ( 文 ) 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ) A ． f ( x ) ＋ | g ( x )| 是偶函数 B ． f ( x ) － | g ( x )| 是奇函数 C ． | f ( x )| ＋ g ( x ) 是偶函数 D ． | f ( x )| － g ( x ) 是奇函数 [ 答案 ] A [ 解析 ] 本题考查奇、偶函数的定义以及判断．可逐项用定义判断． ∵ f ( － x ) ＋ | g ( － x )| ＝ f ( x ) ＋ |－ g ( x )| ＝ f ( x ) ＋ | g ( x )| ， ∴ f ( x ) ＋ | g ( x )| 为偶函数．选 A. ( 理 )( 2020 广东高考 ) 定义域为 R 的四个函数 y ＝ x3， y ＝ 2x，y ＝ x2＋ 1 ， y ＝ 2sin x 中，奇函数的个数是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 本题考查函数奇偶性的判定，这四个函数的定义域均为 R . ( － x )3＝－ x3 2sin( － x ) ＝－ 2sin x ∴ y ＝ x3， y ＝ 2sin x 是奇函数 . 奇偶性的应用 设函数 f ( x ) ＝ x3＋ bx2＋ cx ( x ∈ R ) ，已知 g ( x ) ＝ f ( x )－ f ′ ( x ) 是奇函数． ( 1) 求 b ， c 的值； (2) 求 g ( x ) 的单调区间与极值． [ 规范解答 ] ( 1) ∵ f ( x ) ＝ x3＋ bx2＋ cx ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 bx ＋ c ， ∴ g ( x ) ＝ f ( x ) － f ′ ( x ) ＝ x3＋ ( b － 3) x2＋ ( c － 2 b ) x ＋ c ， ∵ g ( x ) 是一个奇函数， ∴ g ( 0) ＝ 0 ，得 c ＝ 0 ， 由奇函数定义 g ( － x ) ＝－ g ( x ) 得 b ＝ 3. ( 2) 由 ( 1) 知 g ( x ) ＝ x3－ 6 x ， 从而 g ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 6 ， g ′ ( x ) 0 得 x 2 或 x － 2 ； g ′ ( x ) 0 得－ 2 x 2 . 由此可知， ( － ∞ ，－ 2 ) 和 ( 2 ，＋ ∞ ) 是函数 g ( x ) 的递增区间； ( － 2 ， 2 ) 是函数 g ( x ) 的递减区间． g ( x ) 在 x ＝－ 2 时，取得极大值，极大值为 4 2 ； g ( x ) 在 x ＝ 2 时，取得极小值，极小值为－ 4 2 . [ 方法总结 ] 函数奇偶性的应用： 1 ．已知函数的奇偶性求函数的解析式 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于 f ( x ) 的方程，从而可得 f ( x ) 的解析式． 2 ．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用 f ( x )177。 f ( － x ) ＝ 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 3 ．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． ( 文 ) 设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ 2x＋ 2 x ＋ b ( b 为常数 ) ，则 f ( － 1) ＝ ( ) A ． 3 B ． 1 C ．－ 1 D ．－ 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] ∵ f ( x ) 是奇函数， ∴ f ( 0) ＝ 0 ， 即 0 ＝ 20＋ b ， ∴ b ＝－ 1 ， 故 f ( 1) ＝ 2 ＋ 2 － 1 ＝ 3 ， ∴ f ( － 1) ＝－ f ( 1) ＝－ 3. ( 理 ) 若函数 f ( x ) 、 g ( x ) 分别为 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f ( x ) － g ( x ) ＝ ex，则有 ( ) A ． f ( 2) f ( 3) g ( 0) B ． g ( 0) f ( 3) f ( 2 ) C ． f ( 2) g ( 0) f ( 3 ) D ． g ( 0) f ( 2) f ( 3) [ 答案 ] D [ 解析 ] 由题意得 f ( x ) － g ( x ) ＝ ex， f ( － x ) － g ( － x ) ＝ e－ x，即－ f ( x ) － g ( x ) ＝ e－ x，由此解得 f ( x ) ＝ex－ e－ x2， g ( x ) ＝－ex＋ e－ x2，g ( 0) ＝－ 1 ，函数 f ( x ) ＝ex－ e－ x2在 R 上是增函数，且 f ( 3) f ( 2)＝e2－ e－ 220 ， 因此 g ( 0) f ( 2) f ( 3) ，选 D. 函数的周期性及应用 已知函数 f ( x ) 是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的奇函 数，且 f ( x )的图像关于 x ＝ 1 对称，当。