北师大版高考数学一轮总复习124归纳与类比

北师大版高考数学一轮总复习124归纳与类比内容摘要：

， f2( x ) ＝ f ( f1( x )) ＝x3 x ＋ 4， f3( x ) ＝ f ( f2( x )) ＝x7 x ＋ 8， 归纳推理 f4( x ) ＝ f ( f3( x )) ＝x15 x ＋ 16， „ 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n ∈ N ＋ 且 n ≥ 2 时， fn( x ) ＝ f ( fn － 1( x )) ＝ _______ _. ( 2) 在数列 { an} 中， a1＝ 1 ， an ＋ 1＝2 an2 ＋ an， n ∈ N ＋ ，猜想这个数列的通项公式为 ________ ． [ 思路分析 ] ( 1) 由系数特点，发现规律，归纳出结论 ； ( 2)由 a1＝ 1 ，归纳出 a2， a3， „ ，从而猜想出数列的通项公式． [ 规范解答 ] (1) 依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15 ， „ ，可推知该数列的通项公式为 an＝ 2n－ 1. 又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16 ， „ ，故其通项公式为 bn＝ 2n. 所以当 n ≥ 2 时， fn( x ) ＝ f ( fn － 1( x )) ＝x 2n－ 1  x ＋ 2n. (2) 在 { an} 中， a1＝ 1 ， a2＝2 a12 ＋ a1＝23， a3＝2 a22 ＋ a2＝12＝24， a4＝2 a32 ＋ a3＝25， „ ， 所以猜想 { an} 的通项公式 an＝2n ＋ 1. 这个猜想是正确的，证明如下： 因为 a1＝ 1 ， an ＋ 1＝2 an2 ＋ an， 所以1an ＋ 1＝2 ＋ an2 an＝1an＋12， 即1an ＋ 1－1an＝12，所以数列 {1an} 是以1a1＝ 1 为首项， 12为公差的等差数列， 所以1an＝ 1 ＋ ( n － 1)12＝12n ＋12， 所以通项公式 an＝2n ＋ 1. [ 答案 ] ( 1)x 2n－ 1  x ＋ 2n ( 2) an＝2n ＋ 1 [ 方法总结 ] 运用归纳推理时的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性 ( 特殊的共性或一般规律 ) ；然后 ，把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题 ( 猜想 ) ；最后，对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明． 已知经过计算和验证有下列正确的不等式： 3 ＋ 172 10 ， ＋ 2 10 ， 8 ＋ 2 ＋ 12 － 2 2 10 ，根据以上不等式的规律，请写出一个对两不等正实数 m ， n 都成立的条件不等式 ____________________ ． [ 答案 ] 当 m ＋ n ＝ 20 且 m ≠ n 时，有 m ＋ n 2 10 [ 解析 ] 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20 ，不等式的右边都是 2 10 ，因此对两不等正实数 m ， n 都成立条件不等式是：当 m ＋ n ＝ 20 时，有m ＋ n 2 10 . 类比推理 已知命题：平面直角坐标系 x Oy 中， △ ABC 顶点 A ( － p, 0) 和 C ( p, 0) ，顶点 B 在椭圆x2m2 ＋y2n2 ＝ 1( m n 0 ， p ＝m2－ n2)。