高考复习专题——曲线的性质和轨迹问题

高考复习专题——曲线的性质和轨迹问题内容摘要：

xxxxxxxdBFP的距离为点到直线所以所以 d1=d2，即得 ∠ AFP =∠ PFB. ,041)41(),0(04141:,0)2(002002021xyxxxxxxyAFxx即的方程直线时、当所以 P点到直线 AF的距离为： |2|41)41(|2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd同理可得到 P点到直线 BF的距离 2|| 012xxd 因此由 d1=d2， 可得到 ∠ AFP=∠ PFB. 同理可得到 P点到直线 BF的距离 2|| 012xxd 因此由 d1=d2， 可得到 ∠ AFP=∠ PFB. [说明 ] 本题采用了代入法求轨迹方程 . [例 4] 如右图 , 已知 ⊙ A: (x+2)2+y2 = 425⊙ B: (x2)2+y2 = , 动圆 P与 ⊙ A、 ⊙ B都相外切 . 41y x A B P (1)动圆圆心 P的轨迹方程； (2)若直线 y=kx+1与 (1)中的曲线有两个不同的交点 P P2，求 k的取值范围 . [解答 ] (1)依题意， PAPB= 22125 故 P的轨迹是双曲线的右支， a=1， c=2， 其方程为： )1(1322  xyxy x A B P (2)联立方程组 :13122得消 yyxkxy( * )042)3( 22  kxxk在 [1, +)有两不同的解， 012)1(0)3(164132222kkfkkkk则)3,213()3,2( 的范围是解得 k[例 5] A、 B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的 两点，且 OA⊥ OB， 1. 求 A、 B两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线 AB过定点； 3. 求弦 AB中点 P的轨迹方程； 4. 求△ AOB面积的最小值； 5. 求 O在 AB上的射影 M轨迹方程 . [解答 ] (1)设 A(x1, y1)， B(x2, y2)，中点 P(x0, y0)， 2211 ,xykxykOBOA ∵ OA⊥ OB ∴ kOAkOB=1， ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1， y22 = 2px2 022 212221  yypypy∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=4p2 ∴ x1x2=4p2. (2)∵ y12=2px1， y22=2px2 ∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2) 212121 2yypxxyy212yypkAB )(2: 1211 xxyypyyAB  直线21112122yypxyyypxy21211212122yyyypxyyypxy221121 4,2 pyypxy 2122142yypyypxy)2(221pxyypy ∴ AB过定点 (2p, 0)，设 M(2p, 0). (3)设 OA∶ y = kx，代入 y2=2px 得 : x=0， )2,2( 2kpkp同理， 以代 k得 B(2pk2, 2pk) . k1)1()1(0220kkpykkpx2)1(1 222  kkkkk2)( 200 pypx即 y02 = px02p2， ∴ 中点 M轨迹方程 y2 = px2p2 |)||(||)||(|||212121 yypyyOMSSS B O MA O MA O B (4) 221 4||2 pyyp 当且仅当 |y1|=|y2|=2p时，等号成立 . (5)法一：设 H(x3, y3), 则 33xykOH 33yxkAB  )(: 3333 xxyxyyAB 得代入即 pyxyyxyx 2)( 2333。