北师大版高考数学一轮总复习96抛物线

北师大版高考数学一轮总复习96抛物线内容摘要：

有关问题的重要途径． 若例题中点 A 的坐标变为 ( 2,3) ，求 | PA |＋ | PF |的最小值． [ 解析 ] 将 x ＝ 2 代入抛物线方程，得 y ＝ 177。 2 ， ∵ 3 2 ， ∴ 点 A 在抛物线的外部． ∵ | PA |＋ | PF |≥ | AF |＝325 ， ∴ A 、 P 、 F 三点共线时有最小值，最小值为325 . 抛物线的标准方程与几何性质 已知抛物线的顶点在原点，焦点 在 y 轴上，抛物线上一点 M ( m ，－ 3) 到焦点的距离为 5 ，求 m 的值、抛物线方程和准线方程． [ 思路分析 ] 确定抛物线方程的形式→待定系数法确定参数 p→明确结论 [ 规范解答 ] 解法 1 ：设所求抛物线方程为 x2＝－2 py ( p 0) ．则焦点为 F (0 ，－p2) ． ∵ M ( m ，－ 3) 在抛物线上且 | MF |＝ 5 ， 故 m2＝ 6 p ，m2＋ － 3 ＋p22＝ 5，解得 p ＝ 4 ，m ＝ 177。 2 6 . ∴ 抛物线方程为 x2＝－ 8 y ， m ＝ 177。 2 6 ， 准线方程为 y ＝ 2. 解法 2 ：如图所示， 设抛物线方程为 x2＝－ 2 py ( p 0) ， 则焦点 F (0 ，－p2) ，准线 l： y ＝p2，作 MN ⊥ l，垂足为 N ， 则 | MN |＝ | MF |＝ 5 ，则 | MN |＝ 3 ＋p2， ∴ 3 ＋p2＝ 5 ， p ＝ 4. ∴ 抛物线方程为 x2＝－ 8 y ，准线方程为 y ＝ 2. 由 m2＝－ 8 ( － 3) ＝ 24 ，得 m ＝ 177。 2 6 . [ 方法总结 ] 求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向． 为避免开口不一定而分成 y2＝ 2 px ( p 0) 或 y2＝－ 2 px ( p 0)两种情况求解的麻烦，可以设成 y2＝ mx 或 x2＝ ny ( m ≠ 0 ，n ≠ 0) ，若 m 0 ，开口向右， m 0 开口向左， m 有两解，则抛物线的标准方程有两个． 已知 F 为抛物线 x2＝ 2 py ( p 0) 的焦点， M 为其上一点，且| MF |＝ 2 p ，则直线 MF 的斜率为 ( ) A ．－33 B ． 177。 33 C ．－ 3 D ． 177。 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 依题意，得 F (0 ，p2) ，准线为 y ＝－p2，过点 M 作MN 垂直于准线于 N ，过 F 作 FQ 垂直于 MN 于 Q ， 则 | MN |＝ | MF |＝ 2 p ， | MQ |＝ p ，故 ∠ M FQ ＝ 30176。 ， 即直线 MF 的倾斜角为 150176。 或 30176。 ，斜率为－33或33. 直线与抛物线的位置关系 已知过抛物线 y2＝ 2 px ( p 0) 的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2)( x1 x2) 两点，且 | AB |＝9 ， (1) 求该抛物线的方程； (2) O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC→＝ OA→＋λ OB→，求 λ 的值． [ 思路分析 ] ( 1) 联立方程，利用焦点弦公式求解； ( 2) 先求出 A 、 B 坐标，利用关系式表示出点 C 坐标，再利用点 C 在抛物线上求解． [ 规范解答 ]。