北师大版高考数学一轮总复习95椭圆

北师大版高考数学一轮总复习95椭圆内容摘要：

2在 x 轴上，离心率 e ＝12. 求椭圆 E 的方程． 椭圆的定义及标准方程 [ 思路分析 ] ( 1) 两圆内切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件． ( 2) 由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程 ( 组 ) ，用待定系数法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况． [ 规范解答 ] (1) 将圆的方程化为标准形式 ( x ＋ 2)2＋ y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为 B ( － 2,0) ，半径为 6 ，作图知： 设动圆圆心 M 的坐标为 ( x ， y ), 由于动圆与已知圆相内切，设切点为 C . 则已知圆 ( 大圆 ) 半径与动圆 ( 小圆 ) 半径之差等于两圆心的距离，即 | BC |－ | MC |＝ | BM |， 而 | BC |＝ 6 ， ∴ | BM |＋ | CM |＝ 6 ， 又 | CM |＝ | AM |， ∴ | BM |＋ | AM |＝ 6 ， ∴ a ＝ 3 ， c ＝ 2 ， b2＝ a2－ c2＝ 5. ∴ 所求圆心的轨迹方程为x29＋y25＝ 1. (2) 设椭圆 E 的方程为x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 由 e ＝12，即ca＝12，得 a ＝ 2 c ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 3 c2. ∴ 椭圆的方程可化为x24 c2 ＋y23 c2 ＝ 1. 将 A (2,3) 代入上式，得1c2 ＋3c2 ＝ 1 ，解得 c2＝ 4 ， ∴ 椭圆 E 的方程为x216＋y212＝ 1. [ 方法总结 ] 1. 在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数 2 a | F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的 “ 焦点三角形 ” 中的数量关系． 2 ．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、 b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为 mx2＋ ny2＝1( m 0 ， n 0 ， m ≠ n ) ，由题目所给条件求 出 m ， n 即可． 已知椭圆的一个焦点为 F ( 0,1) ，离心率 e ＝12，则椭圆的标准方程为 ( ) A.x22＋ y2＝ 1 B ． x2＋y22＝ 1 C.x24＋y23＝ 1 D.y24＋x23＝ 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由已知， c ＝ 1 ， ∵ e ＝ca＝12， ∴ a ＝ 2 ， ∴ b ＝ a2－ c2＝ 3 . ∴ 椭圆的标准方程为y24＋x23＝ 1 ，故选 D. 椭圆的几何性质 椭圆x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的两个焦点为 F 1 ( －c, 0) 、 F2( c, 0) ， M 是椭圆上一点，满足 F1M→ F2M→＝ 0. 求离心率 e的取值范围． [ 思路分析 ] 设 M ( x ， y ) ，由题意将 x 表示为关于 e 的不等式，根据椭圆上的点的取值范围得到关于 e 的不等式即可得 e的范围． [ 规范解答 ] 设点 M 的坐标为 ( x ， y ) ，则 F1M→＝ ( x ＋ c ，y ) ， F2M→＝ ( x － c ， y ) ． 由 F1M→ F2M→＝ 0 ， 得 x2－ c2＋ y2＝ 0 ，即 y2＝ c2－ x2.① 又由点 M 在椭圆上得 y2＝ b2(1 －x2a2 ) ， 代入 ① 得 b2(1 －。