北师大版高考数学一轮总复习93圆的方程

北师大版高考数学一轮总复习93圆的方程内容摘要：

6 － a 2＋  5 － b 2＝ r2 0 － a 2＋  1 － b 2＝ r23 a ＋ 10 b ＋ 9 ＝ 0，解得 a ＝ 7 ，b ＝－ 3 ，r ＝ 65 . 所以所求圆的方程为 ( x － 7)2＋ ( y ＋ 3)2＝ 65. ( 2) 设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0. 将 P 、 Q 点的坐标分别代入得  2 D － 4 E － F ＝ 203 D － E ＋ F ＝－ 10 ①② 又令 y ＝ 0 ，得 x2＋ Dx ＋ F ＝ 0 ③ 设 x1， x2是方程 ③ 的两根． 由 | x1－ x2|＝ 6 有 D2－ 4 F ＝ 36 ④ 由 ①②④ 得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 8 或 D ＝－ 6 ， E ＝－8 ， F ＝ 0. 故所求圆的方程为 x2＋ y2－ 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x2＋ y2－ 6 x －8 y ＝ 0. [ 方法总结 ] 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 对于 a ∈ R ，直线 ( a － 1) x － y ＋ a ＋ 1 ＝ 0 恒过定点 C ，则以C 为圆心，以 5 为半径的圆的方程为 ( ) A ． x2＋ y2－ 2 x ＋ 4 y ＝ 0 B ． x2＋ y2＋ 2 x ＋ 4 y ＝ 0 C ． x2＋ y2＋ 2 x － 4 y ＝ 0 D ． x2＋ y2－ 2 x － 4 y ＝ 0 [ 答案 ] C [ 解析 ] 直线方程可化为 ( x ＋ 1) a － x － y ＋ 1 ＝ 0 ，易得直线恒过定点 ( － 1,2) ．故所求圆的方程 ( x ＋ 1)2＋ ( y － 2)2＝ 5 ，即为 x2＋ y2＋ 2 x － 4 y ＝ 0. 与圆有关的最值问题 已知实数 x 、 y 满足方程 x2＋ y2－ 4 x ＋ 1 ＝ 0. (1) 求yx的最大值和最小值 ； (2) 求 y － x 的最大值和最小值； (3) 求 x2＋ y2的最大值和最小值． [ 思路分析 ] 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解． [ 规范解答 ] ( 1) 原方程可化为 ( x － 2)2＋ y2＝ 3 ，表示以( 2,0) 为圆心， 3 为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝ k ，即 y ＝ kx . 当直线 y ＝ kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值， 此时|2 k － 0|k2＋ 1＝ 3 ，解得 k ＝ 177。 3 . 所以yx的最大值为 3 ，最小值为－ 3 . ( 2) y － x 可看作是直线 y ＝ x ＋ b 在 y 轴上的截距，当直线 y ＝x ＋ b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最。