北师大版高考数学一轮总复习88空间向量的应用

北师大版高考数学一轮总复习88空间向量的应用内容摘要：

( －22，－22， 1) ． ∴ NE→＝ AM→且 NE 与 AM 不共线． ∴ NE ∥ AM . 又 ∵ NE 平面 BD E ， AM 平面 BD E ， ∴ AM ∥ 平面 BD E . (2) 由 (1) 知 AM→＝ ( －22，－22， 1) ， ∵ D ( 2 ， 0,0) ， F ( 2 ， 2 ， 1) ， ∴ DF→＝ (0 ， 2 ， 1) ． ∴ AM→ DF→＝ 0 ， ∴ AM ⊥ DF . 同理 AM ⊥ BF .又 DF ∩ BF ＝ F ， ∴ AM ⊥ 平面 BDF . 利用空间向量求线面角 如 图 ， 已 知 点 P 在 正 方 体 ABCD －A ′ B ′ C ′ D ′ 的对角线 BD ′ 上， ∠ PDA ＝ 6 0176。 . (1) 求 DP 与 CC ′ 所成角的大小； (2) 求 DP 与平面 AA ′ D ′ D 所成角的大小． [ 思路分析 ] 转 化为三角形内角求解不易，故考虑用向量法求解，注意向量的夹角与直线与平面所成角的关系． [ 规范解答 ] 如图，以 D 为原点， DA 为单位长度建立空间直角坐标系 D － xyz . 则 DA→＝ (1,0,0 ) ， CC ′→＝ (0,0,1 ) ， 连接 BD ， B ′ D ′ . 在平面 BB ′ D ′ D 中，延长 DP 交 B ′ D ′ 于 H . 设 DH→＝ ( m ， m, 1) ( m 0) ， 由已知〈 DH→， DA→〉＝ 60176。 ， 即 DA→ DH→＝ | DA→|| DH→| c os 〈 DH→， DA→〉 可得 2 m ＝ 2 m2＋ 1 . 解得 m ＝22，所以 DH→＝22，22， 1 . (1) 因为 c os 〈 DH→， CC ′→〉＝22 0 ＋22 0 ＋ 1 11 2＝22， 所以〈 DH→， CC ′→〉＝ 45176。 ，即 DP 与 CC ′ 所成的 角为 45176。 . (2) 平面 AA ′ D ′ D 的一个法向量是 DC→＝ (0,1,0 ) ． 因为 c os 〈 DH→， DC→〉＝22 0 ＋22 1 ＋ 1 01 2＝12， 所以〈 DH→， DC→〉＝ 60176。 ， 可得 DP 与平面 AA ′ D ′ D 所成的角为 30176。 . [ 方法总结 ] 直线 l 与平面 α 的夹角为 θ ，直线 l 的方向向量 l 与平面 α 的法向量 n 的夹角为 β ，则 θ ＝π2－ β ( 或 θ ＝ β－π2) ，故有 sin θ ＝ | c os β |＝| l n || l || n |. ( 2020 全国大纲 ) 已知正四棱柱 AB CD － A1B1C1D1中， AA1＝ 2 AB ，则 CD 与平面 BD C1所成角的正弦值等于 ( ) A.23 B.33 C.23 D.13 [ 答案 ] A [ 解析 ] 解法 1 ：如图，连接 C1O ，过 C 作 CM ⊥ C1O . ∵ BD ⊥ 平面 C1CO ， ∴ BD ⊥ CM ， ∴ CM ⊥ 平面 BC1D ∴∠ CDM 即为 CD 与平面 BD C1所成的角 令 AB ＝ 1 ， ∴ AA1＝ 2 ， CO ＝22， C1O ＝ 22＋ 222＝92＝3 22， CM C1O ＝ CC1 CO ， 即3 22CM ＝ 222， ∴ CM ＝23， ∴ sin ∠ CDM ＝CMCD＝23. 解法 2 ：以 D 为原点 DA 、 DC 、 DD1分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设 AA1＝ 2 AB ＝ 2 ，则 D ( 0,0,0) ， C ( 0,1,0) ， B ( 1,1,0) ， C1( 0,1,2) ，则 DC→＝ ( 0,1,0) ， DB→＝ ( 1,1,0) ， DC1→＝ ( 0,1,2) ． 设平面 BD C1的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 则 n DB→＝ 0 ， n DC1→＝ 0 ， ∴ x ＋ y ＝ 0 ，y ＋ 2 z ＝ 0 ，令 y ＝－ 2 ，则 x ＝ 2 ， z ＝ 1 ， ∴ n ＝ (2 ，－ 2,1) ， 设 CD 与平面 BD C1所成的角为 θ ， 则 sin θ ＝ | c os 〈 n ， DC→〉 |＝| n DC→|| n | | DC→|＝23. 利用空间向量求二面角 (2020 陕西高考 ) 如图，四棱柱 ABCD － A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A1O ⊥ 平面 ABCD ，AB ＝ AA1＝ 2 . ( 1) 证明： A1C ⊥ 平面 BB1D1D ( 2) 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小． [ 规范解答 ] 由题设易知 OA ， OB ， OA1两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 由 AB ＝ AA1＝ 2 可知 O ( 0,0,0) ， A ( 1,0,0) ， B ( 0,1,0) ， B1( －1,1,1) ， C ( － 1,0,0) ， A1( 0,0,1) ， D1( － 1 ，－ 1,1) ， D (0 ，－ 1,0) ． ( 1) ∵ A1C→＝ ( － 1,0 ，－ 1) ， DB→＝ ( 0,2,0) ， BB1→＝ ( － 1 ， 0,1) ∴ A1C→ DB→＝ 0 ， A1C→ BB1→＝ 0 ， 即 A1C ⊥ DB ， A1C ⊥ BB1且 DB ∩ BB1＝ B ， ∴ A1C ⊥ 平面 BB1D1D ( 2) 设平面 OCB1的法向量为 n ＝ ( x ，。