北师大版高考数学一轮总复习64数列求和

北师大版高考数学一轮总复习64数列求和内容摘要：

， a6＝ 243 ，求数列 { an} 的通项公式 an及前 n 项和公式 Sn，并求 a9和 S8的值． [ 解析 ] 在等比数列 { an} 中，设首项为 a1，公比为 q ，由a3＝ 9 ， a6＝ 243 ，得 q3＝a6a3＝2439＝ 27 ， ∴ q ＝ 3. 由 a1q2＝ a3，得 9 a1＝ 9 ， ∴ a1＝ 1. 于是，数列 { an} 的通项公式为 an＝ 1 3n － 1＝ 3n － 1， 前 n 项和公式为 Sn＝1  1 － 3n1 － 3＝3n－ 12. 由此得 a9＝ 39 － 1＝ 6 561 ， S8＝38－ 12＝ 3 280. 分组转化求和 ( 2020 包头模拟 ) 已知数列 { xn} 的首项 x1＝ 3 ，通项 xn＝ 2np ＋ nq ( n ∈ N ＋ ， p ， q 为常数 ) ，且 x1， x4， x5成等差数列．求： ( 1) p ， q 的值； ( 2) 数列 { xn} 前 n 项和 Sn. [ 思路分析 ] 第 ( 1) 问由已知条件列出关于 p 、 q 的方程组求解；第 ( 2) 问分组后用等差、等比数列的求和公式求解． [ 规范解答 ] ( 1) 由 x1＝ 3 ，得 2 p ＋ q ＝ 3 ，又因为 x4＝ 24p ＋4 q ， x5＝ 25p ＋ 5 q ，且 x1＋ x5＝ 2 x4，得 3 ＋ 25p ＋ 5 q ＝ 25p ＋ 8 q ，解得 p ＝ 1 ， q ＝ 1. ( 2) 由 ( 1) ，知 xn＝ 2n＋ n ，所以 Sn＝ (2 ＋ 22＋ „ ＋ 2n) ＋ (1 ＋ 2＋ „ ＋ n ) ＝ 2n ＋ 1－ 2 ＋n  n ＋ 1 2. [ 方法总结 ] 对于不能由等差数列、等比数列的前 n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和． 数列 112， 214， 318， 4116， „ 的前 n 项和为 ________ ． [ 答案 ] 12( n 2 ＋ n ＋ 2) －12 n [ 解析 ] 数列的通项公式为： an＝ n ＋12n ， Sn＝ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ „ ＋ n ) ＋12＋14＋18＋ „ ＋12n ＝n  n ＋ 1 2＋1 －12n ＝12( n2＋ n ＋ 2) －12n . 利用裂项相消求和 等差数列 { an} 的各项均为正数， a1＝ 3 ，前 n 项和为 Sn， { bn} 为等比数列， b1＝ 1 ，且 b2S2＝ 64 ， b3S3＝ 960. ( 1) 求 an与 bn； ( 2) 求1S1＋1S2＋ „ ＋1Sn. [ 思路分析 ] ( 1) 根据数列中基本量的运算求 an与 bn的表达式； ( 2) 求1Sn的表达式，利用裂项相 消法求和． [ 规范解答 ] ( 1) 设 { an} 的公差为 d ， { bn} 的公比为 q ，则 d为正数， an＝ 3 ＋ ( n － 1) d ， bn＝ qn － 1， 依题意有 S2b2＝  6 ＋ d  q ＝ 64S3b3＝  9 ＋ 3 d  q2＝ 960， 解得 d ＝ 2q ＝ 8，或 d ＝－65q ＝403( 舍去 ) ． 故 an＝ 3 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n ＋ 1 ， bn＝ 8n － 1. (2) Sn＝ 3 ＋ 5 ＋ „ ＋ (2 n ＋ 1) ＝ n (。