北师大版高考数学一轮总复习29函数与方程

北师大版高考数学一轮总复习29函数与方程内容摘要：

宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为 70 元，不收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若每销售 100 元国家 要征附加税 x 元 ( 叫作税率 x %) ，则每年销售量将减少 10 x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 1 12 万元，则 x 的最小值为 ( ) A ． 2 B ． 6 C ． 8 D ． 10 [答案 ] A [ 解析 ] 依题意有： ( 100 － 10 x ) 70 x100≥ 1 12 ， ∴ 2 ≤ x ≤ 8. 分段函数模型 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车 流速度 v ( 单位： km/ h)是车流密度 x ( 单位：辆 /km ) 的函数．当桥上的车流密度达到200 辆 /km 时，造成堵塞，此时车流速度为 0 ；当车流密度不超过 20 辆 /km 时，车流速度为 60km/ h. 研究表明：当 20 ≤ x ≤ 200时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． ( 1) 当 0 ≤ x ≤ 200 时，求函数 v ( x ) 的表达式； ( 2) 当车流密度 x 为多大时，车流量 ( 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /h) f ( x ) ＝ x v ( x ) 可以达到最大，并求出最大值． ( 精确到 1 辆 /h) [ 思路分析 ] 首先求函数 v ( x ) 为分段函数，然后利 用一元二次函数配方法或基本不等式求解． [ 规范解答 ] ( 1) 由题意：当 0 ≤ x ≤ 20 时， v ( x ) ＝ 60 ， 当 20 ≤ x ≤ 200 时，设 v ( x ) ＝ ax ＋ b ，再由已知得 200 a ＋ b ＝ 0 ，20 a ＋ b ＝ 60 ，解得 a ＝－13，b ＝2003.故函数 v ( x ) 的表达式为 v ( x ) ＝ 60 ， 0 ≤ x ≤ 20 ，13 200 － x  ， 20 x ≤ 200. (2) 依题意并由 (1) 可得 f ( x ) ＝ 60 x ， 0 ≤ x ≤ 20 ，13x  200 － x  ， 20 ≤ x ≤ 200 . 当 0 ≤ x ≤ 20 时， f ( x ) 为增加的，故当 x ＝ 20 时，其最大值为 60 20 ＝ 1 200 ； 当 20 x ≤ 200 时， f ( x ) ＝13x (200 － x ) ≤13[x ＋  200 － x 2]2＝10 0003， 当且仅当 x ＝ 200 － x ，即 x ＝ 100 时，等号成立． 所以，当 x ＝ 100 时， f ( x ) 在区间 [ 20,200 ] 上取得最大值10 0003. 综上，当 x ＝ 100 时， f ( x ) 在区间 [ 0,200] 上取得最大值10 0003≈ 3 333 ， 即当车流密度为 100 辆 /km 时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆 /h. [ 方法总结 ] ( 1) 本题所列出的函数为分段函数，要注意结合题意明确各段的自变量的取值范围． ( 1) 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段 函数是刻画实际问题的重要模型． ( 2) 分段函数主要是每 一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． ( 3) 对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再比较大小．另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可通过函数的单调性求解最值． 已知 A ， B 两地相距 15 0km ，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地前往 B 地，到达 B 地停留 1h 后 再以 50km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x ( km) 表示为时间 t ( h) 的函数，则下列正确的是 ( ) A ． x ＝ 60 t ＋ 50 t (0 ≤ t ≤ ) B ． x ＝ 60 t ， 0 ≤ t ≤ ，150 ， t ≤ 150 － 50 t ， t ≤ C ． x ＝ 60 t ， 0 ≤ t ≤ ，150 － 50 t ， t D ． x ＝ 60 t ， 0 ≤ t ≤ ，150 ， t ≤ ，150 － 50  t －  ， t ≤ [ 答案 ] D [ 解析 ] 依题意，函数为分段函数．求出每一段上的解析式即可 . 指数函数模型 某城市现有人口总数为 1。