北师大版高考数学一轮总复习32导数的应用

北师大版高考数学一轮总复习32导数的应用内容摘要：

＝ x3－12x2－ 2 x ＋ 5 ； ( 2) y ＝ 2 x2－ ln x . [ 解析 ] ( 1) ∵ y ′ ＝ 3 x2－ x － 2 ＝ (3 x ＋ 2) ( x － 1) ， ∴ 令 y ′ 0 ，得 x ∈ ( － ∞ ，－23) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ． 当 y ′ 0 时， x ∈ ( －23， 1) ． ∴ 函数的增区间为 ( － ∞ ，－23) ， (1 ，＋ ∞ ) ； 函数的减区间为 ( －23， 1) ． ( 2) ∵ y ′ ＝ 4 x －1x＝4 x2－ 1x，定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 令 y ′ 0 ，得 x ∈ (0 ，12) ．令 y ′ 0 ，得 x ∈ (12，＋ ∞ ) ． ∴ 函数的增区间为 (12，＋ ∞ ) ，函数的减区间为 (0 ，12) ． ( 理 ) 已知 a ， b 为常数，且 a ≠ 0 ，函数 f ( x ) ＝－ ax ＋ b ＋ ax ln x ，f ( e ) ＝ 2( e ＝ 28 „ 是自然对数的底数 ) ． ( 1) 求实数 b 的值； ( 2) 求函数 f ( x ) 的单调区间． [ 解析 ] (1) 由 f ( e ) ＝ 2 得 b ＝ 2. (2) 由 (1) 可得 f ( x ) ＝－ ax ＋ 2 ＋ ax ln x ， 从而 f ′ ( x ) ＝ a ln x . 因为 a ≠ 0 ，故： ① 当 a 0 时，由 f ′ ( x ) 0 得 x 1 ， 由 f ′ ( x ) 0 得 0 x 1 ； ② 当 a 0 时，由 f ′ ( x ) 0 得 0 x 1 ， 由 f ′ ( x ) 0 得 x 1. 综上，当 a 0 时，函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (1 ，＋ ∞ ) ，单调减区间为 (0,1) ；当 a 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ，单调递减区间为 (1 ，＋ ∞ ). 由函数的单调性求参数的范围 ( 值 ) (2020 江西卷改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( ax2＋ bx ＋ c ) ex在 [ 0,1] 上单调递减且满足 f (0) ＝ 1 ， f (1) ＝ 0. 求 a 的取值范围． [ 思路分析 ] 先由 f (0) ＝ 1 ， f (1) ＝ 0 得 a ， b ， c 关系，求得f ( x ) 解析式，利用 f ′ ( x ) 0 求解． [ 规范解答 ] 由 f ( 0) ＝ 1 ， f ( 1) ＝ 0 ， 得 c ＝ 1 ， a ＋ b ＝－ 1 ， 则 f ( x ) ＝ [ ax2－ ( a ＋ 1) x ＋ 1] ex， f ′ ( x ) ＝ [ ax2＋ ( a － 1) x － a ]ex 依题意需对任意 x ∈ ( 0, 1) ，有 f ′ ( x ) 0. 当 a 0 时，因为二次函数 y ＝ ax2＋ ( a － 1) x － a 的图像开口向上，而 f ′ ( 0) ＝－ a 0 ， 所以需 f ′ ( 1) ＝ ( a － 1) e 0 ，即 0 a 1. 当 a ＝ 1 时，对任意 x ∈ ( 0,1) 有 f ′ ( x ) ＝ ( x2－ 1) ex0 ， f ( x )符合条件； 当 a ＝ 0 时，对于任意 x ∈ ( 0,1) ， f ′ ( x ) ＝－ x ex0 ， f ( x ) 符合条件； 当 a 0 时，因 f ′ ( 0) ＝－ a 0 ， f ( x ) 不符合条件． 故 a 的取值范围为 0 ≤ a ≤ 1. [ 方法总结 ] 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) ， x ∈ ( a ， b ) ，转化为不等式恒成立求解． 已 知 f ( x ) ＝ ex－ ax － 1. 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0] 上单调递减，在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增。 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由． [ 解析 ] 方法一：由题意知 ex－ a ≤ 0 在 ( － ∞ ， 0] 上恒成立． ∴ a ≥ ex在 ( － ∞ ， 0] 上恒成立． ∵ y ＝ ex在 ( － ∞ ， 0] 上为增函数． ∴ 当 x ＝ 0 时， ex最大为 1. ∴ a ≥ 1。