北师大版高考数学一轮总复习119二项分布与正态分布

北师大版高考数学一轮总复习119二项分布与正态分布内容摘要：

„ ＋ xnpn求其均值．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可 计算． 从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动． ( 1) 求所选 3 人中恰有一名男生的概率； ( 2) 求所选 3 人中男生人数 X 的分布列，并求 X 的均值． [ 解析 ] ( 1) 所选 3 人中恰有一名男生的概率 P ＝C25C14C39＝1021. ( 2) X 的可能取值为 0,1, 2,3. P ( X ＝ 0) ＝C35C39＝542， P ( X ＝ 1) ＝C25C14C39＝1021， P ( X ＝ 2) ＝C15C24C39＝514， P ( X ＝ 3) ＝C34C39＝121. ∴ X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 542 1021 514 121 ∴ EX ＝ 0 542＋ 1 1021＋ 2 514＋ 3 121＝43. 离散型随机变量的方差 设甲、乙两名射手在一次射击中分别射中的环数为两个相互独立的随机变量 X ， η ，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环 的概率分别为 ,3 a ， a, ，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 ,. (1) 求 X ， η 的分布列； (2) 求 X ， η 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． [ 规范解答 ] ( 1) 依题意得 ＋ 3 a ＋ a ＋ ＝ 1 ， 解得 a ＝ . ∵ 乙射中 10,9,8 环的概率分别为 , ， ∴ 乙射中 7 环的概率为 1 － ( ＋ ＋ ) ＝ . ∴ X 的分布列为： X 10 9 8 7 P η 的分布列为： η 10 9 8 7 P ( 2) 由 ( 1) 可得： EX ＝ 10 ＋ 9 ＋ 8 ＋ 7 ＝ ( 环 ) ， Eη ＝ 10 ＋ 9 ＋ 8 ＋ 7 ＝ ( 环 ) ， DX ＝ ( 10 － )2 ＋ (9 － )2 ＋ (8 － )2 ＋(7 － )2 ＝ ， Dη ＝ ( 10 － )2 ＋ (9 － )2 ＋ (8 － 8. 7)2 ＋(7 － )2 ＝ . 由于 EX Eη ，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为DX Dη ，说明甲射中 的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的射击技术好． [ 方法总结 ] 随机变量的均值与方差，都是随机变量的重要特征数 ( 或数字特征 ) ，是对随机变量的一种简明的描述，它们所反映的随机变量的情况有着很重要的实际意义，所以，不仅需要掌握其计算公式和方法，也要学会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据． 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的．比如：两个随机变量的均值相等了，这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算其方差 ( 或标准差 ) ，方差大说明随机变量取值分散性大；方差 小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定． 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P η 0 1 2 P 试评定这两个保护区的管理水平． [ 思路分析 ] 解决此类问题的方法是比较两者均值和方差的大小，从而得出结论． [ 规范解答 ] 甲保护区违规次数 X 的均值和方差为 EX ＝ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ ； DX ＝ (0 － )2 ＋ (1 － )2 ＋ (2 － )2 ＋ (3－ )2 ＝ . 乙保护区的违规次数 η 的均值和方差为： Eη ＝ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＝ ； Dη ＝ (0 － )2 ＋ (1 － )2 0. 5 ＋ (2 － 1. 3)2。