北师大版高考数学一轮总复习118条件概率、事件的独立性

北师大版高考数学一轮总复习118条件概率、事件的独立性内容摘要：

规范解答 ] ( 1) 设甲胜 A 的事件为 D ，乙胜 B 的事件为 E ，丙胜 C 的事件为 F 则 D ， E ， F 分别表示甲不胜 A 、乙不胜 B 、丙不胜 C 的事件． 因为 P ( D ) ＝ ， P ( E ) ＝ ， P ( F ) ＝ 由对立事件的概率公式知 P ( D ) ＝ ， P ( E ) ＝ ， P ( F )＝ . 红队至少两人获胜的事件有： DE F－， D E F ， D EF ， DE F . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P ＝ P ( DE F ) ＋ P ( D E F ) ＋ P ( D EF ) ＋ P ( DE F ) ＝ ＋ 0. 6 ＋ ＋ ＝ . ( 2) 由题意知 X 可能的取值为 0,1,2,3. 又由 ( 1) 知 D E F 、 D E F 、 D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此 P ( X ＝ 0) ＝ P ( D E F ) ＝ ＝ ， P ( X ＝ 1) ＝ P ( D E F ) ＋ P ( D E F ) ＋ P ( D E F ) ＝ ＋ ＋ ＝ . P ( X ＝ 3) ＝ P ( DE F ) ＝ ＝ . 由对立事件的概率公式得 P ( X ＝ 2) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) － P ( X ＝ 1) － P ( X ＝ 3) ＝ . 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 因此 EX ＝ 0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ . [ 方法总结 ] A A A3为独立事件，那么 A A A3也为独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式计算． (1) 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ① 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ② 正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算． (2) 在应用相互独立事件的概率乘法公式时，一定要认真审题，找准关键字句，如 “ 至少有一个发生 ” 、 “ 至多有一个发生 ” 、 “ 恰有一个发生 ” 等等，同时结合独立事件的概率乘法进行求解． 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1 , T2，T3， T4，电流能通过 T1， T2， T3的概率都是 p ，电流能通过 T4的概率是 . 电流能否通过各元件相互独立．已知 T1， T2， T3中至少有一个能通过电流的概率为 . ( 1) 求 p ； ( 2) 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率． [ 解析 ] 记 Ai表示事件：电流能通过 Ti， i＝ 1, 2,3,4 ， A 表示事件： T1， T2， T3中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． ( 1) A ＝ A1 A2 A3， A1， A2， A3相互独立， 故 P ( A ) ＝ P ( A1 A2 A3) ＝ P ( A1) P ( A2) P ( A3) ＝ (1 － p )3， 又 P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝ 1 － 0. 999 ＝ ， 故 (1 － p )3＝ ，解得 p ＝ . ( 2) B ＝ A4＋ A4 A1 A3＋ A4 A1 A2 A3， P ( B ) ＝ P ( A4＋ A4 A1 A3＋ A4 A1 A2 A3) ＝ P ( A4) ＋ P ( A4 A1 A3) ＋ P ( A4 A1 A2 A3) ＝ P ( A4) ＋ P ( A4) P ( A1) P ( A1) P ( A3) ＋ P ( A4) P ( A1) P ( A2) P ( A3)＝ ＋ ＋ ＝ 1. 独立重复。