北师大版高考数学一轮总复习65数列的综合应用

北师大版高考数学一轮总复习65数列的综合应用内容摘要：

b3＝ 5 ＋ d ，又 a1＝ 1 ， a2＝ 3 ， a3＝ 9 ， 由题意可得 (5 － d ＋ 1) ( 5 ＋ d ＋ 9) ＝ (5 ＋ 3)2， 解得 d1＝ 2 ， d2＝－ 10. ∵ 等差数列 { bn} 的各项为正， ∴ d 0 ， ∴ d ＝ 2 ， b1＝ 3 ， ∴ Tn＝ 3 n ＋n  n － 1 2 2 ＝ n2＋ 2 n . 数列与函数、不等式的综合应用 已知 f ( x ) ＝ logax ( a 0 且 a ≠ 1) ，设 f ( a1) ， f ( a2) ， „ ，f ( an)( n ∈ N ＋ ) 是首项为 4 ，公差为 2 的等差数列． (1) 设 a 为常数，求证： { an} 成等比数列； (2) 若 bn＝ anf ( an) ， { bn} 的前 n 项和是 Sn，当 a ＝ 2 时，求Sn. [ 思路分析 ] 利用函数的有关知识得出 an的表达 式，再利用表达式解决其他问题． [ 规范解答 ] ( 1) f ( an) ＝ 4 ＋ ( n － 1) 2 ＝ 2 n ＋ 2 ， 即 logaan＝ 2 n ＋ 2 ， 可得 an＝ a2 n ＋ 2. ∴anan － 1＝a2 n ＋ 2a2  n － 1  ＋ 2 ＝ a2( n ≥ 2) ，为定值． ∴ { an} 为等比数列． ( 2) bn＝ anf ( an) ＝ a2 n ＋ 2logaa2 n ＋ 2＝ (2 n ＋ 2) a2 n ＋ 2. 当 a ＝ 2 时， bn＝ (2 n ＋ 2) ( 2 )2 n ＋ 2＝ ( n ＋ 1) 2n ＋ 2. Sn＝ 2 23＋ 3 24＋ 4 25＋ „ ＋ ( n ＋ 1) 2n ＋ 2① 2 Sn＝ 2 24＋ 3 25＋ 4 26＋ „ ＋ n 2n ＋ 2＋ ( n ＋ 1) 2n ＋ 3② ① － ② 得 － Sn＝ 2 23＋ 24＋ 25＋ „ ＋ 2n ＋ 2－ ( n ＋ 1) 2n ＋ 3 ＝ 16 ＋24 1 － 2n － 11 － 2－ ( n ＋ 1) 2n ＋ 3 ＝ 16 ＋ 2n ＋ 3－ 24－ n 2n ＋ 3－ 2n ＋ 3 ＝－ n 2n ＋ 3. ∴ Sn＝ n 2n ＋ 3( n ∈ N ＋ ) ． [ 方法总结 ] 数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题．此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题； ② 已知数列条件，解决函数 问题．解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 在数列 { an} 中， a1＝ 4 ，且对任意大于 1 的正整数 n ，点 ( an，an － 1) 在直线 y ＝ x － 2 上． ( 1) 求数列 { an} 的通项公式； ( 2) 已知 b1＋ b2＋ „ ＋ bn＝ an，试比较 an与 bn的大小． [ 解析 ] ( 1) ∵ 点 ( an， an － 1) 在直线 y ＝ x － 2 上， ∴ an＝ an － 1＋ 2 ，即数列 { an} 是以 a1＝ 2 为首项，公差d ＝ 2 的等差数列． ∴ an＝ 2 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n ， ∴ an＝ 4 n2. ( 2) ∵ b1＋ b2＋ „ ＋ bn＝ an， ∴ 当 n ≥ 2 时， bn＝ an－ an － 1＝ 4 n2－ 4( n － 1)2＝ 8 n － 4 ， 当 n ＝ 1 时， b1＝ a1＝ 4 ，满足上式． ∴ bn＝ 8 n － 4 ， ∴ an－ bn＝ 4 n2－ (8 n － 4) ＝ 4( n － 1)2≥ 0 ， ∴ an≥ bn. [ 点评 ] 第 ( 2) 问可由 b1＋ b2＋ „ ＋ bn＝ an得， an－ bn＝ an －1＝ 4( n － 1)2≥ 0 ， ∴ an≥ bn简捷明了，注意观察分析常能起到事半功倍的效果 . 数列与导数、解析几何的综合应用 设曲线 y ＝ x2＋ x ＋ 2 － ln x 在 x ＝ 1 处的切线为 l ，数列 { an} 的首项 a1＝－ m ( 其中常数 m 为正奇数 ) ，且对任意 n∈ N ＋ ，点 ( n － 1 ， an ＋ 1－。