北师大版高考数学一轮总复习61数列的概念与简单表示法

北师大版高考数学一轮总复习61数列的概念与简单表示法内容摘要：

„ ，故其一个通项公式可写为： an＝ ( － 1)n ＋ 1n2＋ 12 n ＋ 1. 根据数列的递推公式求通项公式 根据下列条件，写出数列的通项公式． (1) a1＝ 2 ， an ＋ 1＝ an＋ n ； (2) a1＝ 1,2n － 1an＝ an － 1； ( 理 )( 3) a1＝ 1 ， an ＋ 1＝ 3 an＋ 2. [ 思路分析 ] (1) 将递推关系写成 n － 1 个等式累加． (2) 将递推关系写成 n － 1 个等式累乘，或逐项迭代也可． ( 理 )( 3) 可用构造等比数列法求解． [ 规范解答 ] ( 1) 当 n ＝ 1 ,2,3 ， „ ， n － 1 时，可得 n － 1 个等式： an－ an － 1＝ n － 1 ， an － 1－ an － 2＝ n － 2 ， „ ， a2－ a1＝ 1 ， 将其相加，得 an－ a1＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ „ ＋ ( n － 1) ， ∴ an＝ a1＋ 1 ＋ n － 1  n － 1 2 ＝ 2 ＋n  n － 1 2＝n2－ n ＋ 42. ( 2) 解法 1 ： ∵ an＝anan － 1an － 1an － 2an － 2an － 3„ a3a2a2a1 a1 ＝12n － 112n － 2„ 122121 a1 ＝121 ＋ 2 ＋ „ ＋ ( n － 1)＝12 ∴ an＝12 n－ 1n2 n－ 1n2 解法 2 ： 由 2n － 1an＝ an － 1得 an＝12n － 1an － 1 ∴ an＝12n － 1an － 1＝12n － 112n － 2an － 2 „ ＝12n － 112n － 2„ 121a1 ＝12( n － 1) ＋ ( n － 2) ＋ „ ＋ 2 ＋ 1＝12 n－ 1n2 ( 理 ) ( 3) ∵ an ＋ 1＝ 3 an＋ 2 ， ∴ an ＋ 1＋ 1 ＝ 3( an＋ 1) ， ∴an ＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 3 ， ∴ 数列 { an＋ 1} 为等比数列，公比 q ＝ 3 ， 又 a1＋ 1 ＝ 2 ， ∴ an＋ 1 ＝ 2 3n － 1， ∴ an＝ 2 3n － 1－ 1. [ 方法总结 ] 1. 已知 a1且 an－ an － 1＝ f ( n )( n ≥ 2) ，可以用 “ 累加法 ” ，即 an－ an － 1＝ f ( n ) ， an － 1－ an － 2＝ f ( n － 1) ， „ ， a3－ a2＝ f ( 3) ， a2－ a1＝ f ( 2) ． 所有等式左右两边分别相加，代入 a1得 an. 2 ．已知 a1且anan － 1＝ f ( n )( n ≥ 2) ，可以用 “ 累乘法 ” ， 即anan － 1＝ f ( n ) ，an － 1an － 2＝ f ( n － 1) ， „ ，a3a2＝ f ( 3) ，a2a1＝ f ( 2) ，所有等式左右两边分别相乘，代入 a1得 an. 提醒： 并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个． 根据下列各个数列 { an} 的首项和基本关系式，求其通项公式． ( 1) a1＝ 1 ， an＝ an － 1＋ 3n － 1( n ≥ 2) ； ( 2) a1＝ 1 ， an＝n － 1nan － 1( n ≥ 2) ． [ 解析 ] ( 1) ∵ an＝ an － 1＋ 3n － 1， ∴ an－ an － 1＝ 3n － 1， an － 1－ an － 2＝ 3n － 2， an － 2－ an － 3＝ 3n － 3， „ a2－ a1＝ 31. 以上 n － 1 个等式两边分别相加得 an＝ a1＋ 31＋ 32＋ „ ＋ 3n － 1＝ 1 ＋ 3 ＋。