北师大版高考数学一轮总复习26指数与指数函数

北师大版高考数学一轮总复习26指数与指数函数内容摘要：

课堂典例讲练 求值： (1)log89log23； (2) (lg 5)2＋ l g 50 l g 2 ； (3)12lg3249－43lg 8 ＋ lg 245 . [ 思路分析 ] 运用对数运算法则及换底公式． 对数式的化简与求值 [ 规范解答 ] ( 1) 原式＝log2332log23＝23. ( 2) 原式＝ ( l g 5)2＋ lg ( 10 5) lg105 ＝ ( lg 5)2＋ (1 ＋ l g 5) ( 1 － l g 5) ＝ ( lg 5 )2＋ 1 － ( lg 5)2＝ 1. ( 3) 原式＝ lg4 27－ lg 4 ＋ l g ( 7 5 ) ＝ lg4 2 7 57 4 ＝ lg 10 ＝12. [ 方法总结 ] 对数式化简求值的基本思路： ( 1) 利用换底公式及 lo gamNn＝nmlogaN 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； ( 2) 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； ( 3) 利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值． 提醒： 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成立． ( 文 ) 求下列各式的值． ( 1) 2log32 － log3329＋ log38 － 5 lo g53； ( 2)2lg 2 ＋ l g 31 ＋12lg ＋13lg 8. [ 解析 ] ( 1) 原式＝ 2log32 － ( log332 － log39) ＋ 3log32 － 3 ＝2log32 － 5log32 ＋ 2 ＋ 3log32 － 3 ＝－ 1. ( 2) 原式＝lg 4 ＋ l g 31 ＋ lg ＋ lg 2＝lg 12lg  10 2 ＝ 1. ( 理 ) ( 1) 若 2a＝ 5b＝ 10 ，求1a＋1b的值； ( 2) 若 x lo g34 ＝ 1 ，求 4x＋ 4－ x的值． [ 解析 ] ( 1) 由已知得 a ＝ log210 ， b ＝ log510 ， 则1a＋1b＝ lg 2 ＋ lg 5 ＝ l g 10 ＝ 1. ( 2) 由已知得 x ＝ lo g43 则 4x＋ 4－ x＝ 4lo g 4 3＋ 4－ lo g 4 3 ＝ 3 ＋13＝103. 对数函数的图像及应用 若不等式 ( x － 1)2 logax 在 x ∈ (1,2) 内恒成立，求实数 a 的取值范围． [ 思路分析 ] 本题若直接求解对数不等式无法进行，可考虑画出 y1＝ ( x － 1 )2与 y2＝ logax 的图像使其满足条件，采用数形结合的方法求解． [ 规范解答 ] 设 f1( x ) ＝ ( x － 1)2， f2( x ) ＝ logax ，要使当 x ∈ ( 1,2)时，不等式 ( x － 1)2 logax 恒成立，只需 f1( x ) ＝ ( x － 1)2在 ( 1,2)上的图像在 f2( x ) ＝ logax 图像的下方即可． 当 0 a 1 时，显然不成立； 当 a 1 时，如图， 要使 x ∈ ( 1,2) 时 f1( x ) ＝ ( x － 1)2的图像在 f2( x ) ＝ logax 的图像下方，只需 f1( 2) ≤ f2( 2) ， 即 ( 2 － 1)2≤ loga2 ， loga2 ≥ 1 ， ∴ 1 a ≤ 2. 即实数 a 的取值范围是 ( 1,2] ． [ 方法总结 ] 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图像解决，具体做法为： ( 1) 对不等式变形，使不等号两边对应两函数 f ( x ) ， g ( x ) ； ( 2) 在同一坐标系下作出两函数 y ＝ f ( x ) 及 y ＝ g ( x ) 的图像； ( 3) 比较当 x 在某一范围内取值时图像的上、下位置及交点的个数，来确定参数的取值或解的情况． 已知函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R ) 满足 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ，且 x ∈ [ －1,1] 时， f ( x ) ＝ x2，则函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ lo g5x 的图像的交点个数为 ________ ． [ 答案 ] 4 [ 解析 ] 由 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ，得 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 2) ，则函数 f (。