人教a版高中数学必修二132球的体积和表面积

人教a版高中数学必修二132球的体积和表面积内容摘要：

题的关键 . 变式训练 1.（ 2020 全国高考卷Ⅰ，理 7） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） 分析： 由 V=Sh，得 S=4，得正四棱柱底面边长为 ，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为 R= 642221 222  ，所以球的表面积为S=4π R2=24π . 答案 ： C 2.（ 2020湖南数学竞赛， 13） 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积为 _____________. 分析： 把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为 a22 ，于是球的半径为 a42 ， V= 3242 a . 答案： 3242 a 3.（ 2020 天津高考，理 12） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上 的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为 ___________. 分析： 长方体的对角线为 14321 222  ，则球的半径为214,则球的表面积为4π ( 214 )2=14π . 答案： 14π 例 2 图 5是一个底面直径为 20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米。 图 5 活动： 学生思考杯里的水 将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路 .因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为 20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度 . 解： 因为圆锥形铅锤的体积为 2)26(31  20=60π（ cm3）， 设水面下降的高度为 x，则小圆柱的体积为 x2)220( =100π x（ cm3） . 所以有 60π =100π x，解此方程得 x=（ cm） . 答：杯里的水下降了 cm. 点评： 本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力 .明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键 .解实际应用题的关键是建立数学模型 .本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积 .明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键 . 变式训练 ，外直径为 12 cm，壁厚 cm，问它在水中能浮起来吗。 （钢的密度为 g/cm3）和它一样尺寸的空心铅球呢。 （铅的密度为 g/cm3） 分析： 本题的关键在于如何判断球浮起 和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没 . 解： 空心钢球的体积为 V 钢 = 33   ≈(cm3)， ∴钢的质量为 m 钢 ==(g). ∵水的体积为 V 水 = 34 6 3=(cm3)， ∴水的质量为 m 水 =1=(g)＞ m 钢。