332函数的极值与导数

332函数的极值与导数内容摘要：

332函数的极值与导数 修 1三章 导数及其应用一、复习导入 463)( 2 0)( )(4(3 ) 3 2 4 2 0f x x x x 求 出 函 数 的 单 调 区 间12 4 , 2 得 临 界 点区间 (-， 2) 2 (2， +)f (x) 0 0f(x)f(x)在 (-， (2， )内单调递增，你记住了吗。 有没搞错，怎么这里没有填上。 求导数 求临界点 列表 写出单调性+ +(x)>0 (x+4)(0 x)在 (2)内单调递减。 f (x)0单调递减h (t)a时 h(t)的单调性是怎样的呢。 t= t= f(x)先增后减， h (x)先正后负，h (x)连续变化，于是有 h (a)=0 f(a)最大。 对于一般函数是否也有同样的性质吗。 h(t)=0一、复习导入 1) 如图， y=f(x)在 c、 数值呢。 导数符号呢。 c d e f o g h I j 习导入 2) 如图， y=f(x)在 a、 数值呢。 导数符号呢。 探究y-=f(x)()00极小值点极大点f (a)=0f (b)=0二、讲授新课 y=f(x)x (x) + 0 -f(x) 单调递增 极大值 单调递减什么是极小值点、极小值、极大值点、极大值 、极值点、极值。 f(a)f(b)小结x (x) - 0 +f(x) 单调递减 极小值 单调递增极大值点和极小值点统称为极值点极大值和极小值统称为极值1 1 2 3 4 5 6 7a ) 00)( ) 0f a x 0)( ) 0f a x 0)( 定义一般地 , 设函数f (x) 在点 如果对 都有0( ) ( )f x f x我们就说 f ( f (x)的一个 极大值 , 点 y = f (x)的 极大值点 若 , 则称 f (是 f (x) 的一个 极小值 , 点 y = f (x)的 极小值点 ) ( )f x f x极小值点、极大值点统称为 极值点 , 极大值和极小值统称为 极值 x2 x3 1 4x)( 2 3试指出该函数的极值点与极值 ,并说出哪些是极大值点 ,哪些是极小值点 . 1 理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念 ， 是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点 ， 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若 f(x)在 a， b内有极值 ， 那么 f(x)在 a，b内绝不是单调函数 ， 即在定义域区间上的单调函数没有极值 总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 (如图 (1) (5)若函数 f(x)在 a， b上有极值，它的极值点的分布是有规律的 (如图 (2)所示 )，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2 导数为 0的点不一定是极值点 练习 1下图是导函数 的图象 , 试找出函数的极值点 , 并指出哪些是极大值点 , 哪些是极小值点 .)( )( a x2 x5 y f x值点处导数值 (即切线斜率 ） 有何特点。 结论 :极值点处 ， 如果有切线 ， 切线水平的 f (x)=0a byf(x)x1 x2 (0 f (0 f (0思考 ;若 f (0，则 y（处，在，得由0,0003)(,)(23寻找 可导函数 极值点 ,可否只由 f(x)=0求得即可 ?思考探索 : x =0是否为函数 f(x)=x)x)=3 f(x)=0时， x =0，而 x =0不是该函数的极值点 =0 可导函数 f(x)的极值点函数 f(x)的极值点 f(=0注意： f /(0是函数取得极值的必要不充分条件进一步探究 :极值点两侧 函数图像单调性有何特点 ?极大值极小值即 : 极值点两侧单调性 互异f (x)0f (x)>0探究 :极值点两侧 导数正负符号 有何规律 ?x)f(x)x x)f(x)增f(x) >0f(x) =0 f(x) 0注意 :(1) f(=0， )只有 f(=0且 同 ， (3)求 极值点，可以先求 f(=0的点， 再 列表判断单调性结论： 极值点处， f(x) =0因为 所以例 1 求函数 的极值 ) 4 43f x x x 解 :,4431)( 3 4)(2 得 或,0)( 2x 即 , 或 ;当 , 即 x 2 x当 x 变化时 , f (x) 的变化情况如下表 :x (, 2) 2 (2, 2) 2 ( 2, +)0 0f (x)()+单调递增 单调递减 单调递增3/28 3/4所以 , 当 x = 2 时 , f (x)有极大值 28 / 3 ;当 x = 2 时 , f (x)有极小值 4 / 3 图像28/3f(x)=1/3 1x 0 - - 0 +( ) x=数的极大值是 x=1时，函数的极小值是 21 ,0解 ： f(x)= 所 以导函数的正负是交替出现的吗。 不是22211 ( ) 1 ，( ) 0 1f x x 时 ， 化 时 ， f(x),f(x) 变 化 如 下 表极大值 极小值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（ 1）确定函数的定义域（ 2）求方程 f(x)=0的根（ 3）用方程 f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（ 4）由 f(x)在方程 f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若 f (左正右负，则 f(为极大值；若 f (左负右正，则 f(为极小值 + 求极点 列表 求极值练习 2求下列函数的极值 :;27)( )2( ;26)( )1( 32 )4( ;126)( )3( 33 解 : ,112)( )1( 解得 列表 :,0)( 121x)()单调递增单调递减)121,( ),121( 1212449所以 , 当 时 , f (x)有极小值121x 21( 求下列函数的极值 :;27)( )2( ;26)( )1( 32 )4( ;126)( )3( 33 解 : ,0273)( )2( 2 表 :21 , 3) 3 (3, 3) 3 ( 3, +)0 0f (x)()+单调递增 单调递减 单调递增54 54所以 , 当 x = 3 时 , f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时 , f (x)有极小值 54 求下列函数的极值 :;27)( )2( ;26)( )1( 32 )4( ;126)( )3( 33 解 : ,0312)( )3( 2 得 21 当 x = 2 时 , f (x)有极小值 10 ;当 x = 2 时 , f (x)有极大值 22 .,033)( )4( 2 21 当 x = 1 时 , f (x)有极小值 2 ;当 x = 1 时 , f (x)有极大值 2 1)导数为 0的点一定是函数的极值点吗。 例如： f(x)=(x)=3f (0)=3× 02=0x (x) + 0 +f(x)o =若 f(是极值，则 f (0。 反之，f (0， f(一定是极值y=f(x)在一点的导数为 0是函数 y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。 思考 (2)o b)( 1x 2x 3x 4x 5x 6一定极大值极小值极小值函数的性质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为 极值 ,使函数取得极值的点称为 极值点 o )( 点 0x 处具有导数 , 且在 0x 处取得极值 , 那末必定 0)( 0 x 求极值的步骤 :a a (x)>0单调弟增 f (x)<列表， 已知函数 在 处取得极值。 （ 1）求函数 的解析式（ 2）求函数 的单调区间 32 2f x a x b x x 2 , 1 2 3 2 2f x a x b x 解 ： (1) ( ) 2 , 1f x x x 在 取 得 极 值 ，1 2 4 2 03 2 2 0 即 11,32解 得 ： 3。