高中数学 1.3.2托勒密定理课件 北师大版选修4-1

高中数学 1.3.2托勒密定理课件 北师大版选修4-1内容摘要：

1、-*-*勒密定理文字 语言 圆 内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的乘积 符号 语言 四 边形 A B C D 是 O 的内接四边形 , 两条对角线 ,则有 D C + A D B C = A C 图形 语言 作用 证明线段成比例 1) 托勒密定理的推广 : 对任意四边形 , 必有 C D + 当且仅当 A , B , C , D 四点共圆时取等号 . ( 2) 直线上的托勒密定理 : 若 A , B , C , D 为一直线上依次排列的四点 , 则 C D + A C 一做】 在圆内接四边形 ,则 D=()+4 D=D+C=2 2+2 2=8+逆命题 :如果一个四边形的两对边乘积之和等 2、于两条对角线的乘积 ,那么这个四边形的四个顶点共圆 其原因如下 :如图所示 ,在任意四边形 连接 四边形 ,使得 1= 2, 3= 4,则 以 EB 1+ 2+ 以 以 以 ,即 C=D,且 5= 6,所以 C+C=D+D,即 D)=D+C,很明显 D 所以 D+C D,当 D=即点 B,E,此时 则有D+C=D, 3= 4, 5= 6,则在 1+ 2+ 3+ 6=180,所以 1+ 2+ 4+ 5=180 1+ 2+ 4+ 5,所以 80,所以 A,B,C,即当 D+C=A,B,C,型二题型一 证明问题 【例 1 】 在 , A C 点 D 在 , 点 E 在 延长线上 ,且 的外接圆与 A 3、 外接圆 交于点 F , 求证 : B F = A F + C F . 分析 : 观察图形 , 由于求证的等式中的右端是和的形式 , 且所涉及的三条线段 在圆内接四边形 F 中 , 故考虑借助托勒密定理来证明 . 型二证明 :如图所示 ,连接 F. , C=F, C+F=F+F,在圆内接四边形 有 C+F=C, C=F+C=D, F+型二反思 如果已知四点共圆 , 并且求证的等式一端是和的形式时 , 通常借助托勒密定理来证明 , 有时需要对写出的托勒密定理的结论进行转化后才能得出所证明的等式 , 如本题需进行等量变换再变形 . 型二【变式训练 1】 在例 1中 ,已知条件不变 ,利用圆内接四边 4、形 证明 : 理可证 m, EF=E=F=有 E=F+F, BFDE C=F+C=E, F+型二题型二 构造图形证明问题 【例 2】 若 a,b,x,且 a2+,x2+ax+构造圆内接四边形 ,借助托勒密定理来证明 如图所示 ,t 且公共斜边 则可以设AC=b,BC=a,AD=x,BD= 0+90=180,所以四边形 且 所以 D+D=D,且 CCB2=1,所以 D+D 1,即 ax+型二反思 证明数学中一些关于和的等式或不等式 , 通常构造圆内 接四边形 , 借助托勒密定理来证明 . 构造圆内接四边形时 , 常用圆内接四边形的判定定理来确定构造的四边形内接于圆 . 型二【变式训练 2】 解方程 :3+显然 x 6,如图所示 B=x,C,且 ,则 连接 托勒密定理 ,得 6+4=x得 ,所以 故 0,连接 O,则 C, 20,因此原方程的解为 x= 2 31 如图所示 , 设 P , Q 为平行四边形 D 的边 的两点 ,。