高中数学 2.5圆锥曲线的几何性质课件 北师大版选修4-1

高中数学 2.5圆锥曲线的几何性质课件 北师大版选修4-1内容摘要：

1、-*- 5 圆锥曲线的几何性质曲线的离心率的定义 握圆锥曲线的统一定义 1 . 离心率的几何意义 ( 1) 椭圆 : 椭圆上任意一点 P 到焦点 F 和直线 m ( m 称为椭圆的一条准线 ) 的距离之比为一个常数 , 我们把这个常数 e=c o s c o s 称为椭圆的离心率 , 其范围是 e ( 0, 1) . ( 2) 双曲线 : 双曲线上任意一点 P 到焦点 F 和直线 m ( m 称为双曲线的一条准线 ) 的距离之比为一个常数 , 我们把这个常数 e=c o s c o s 称为双曲线的离心率 , 其范围是 e ( 1, + ) . 名师点拨 定义中的焦点 F 和准线要对应 . 椭 2、圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线 , 其中左焦点和左准线相对应 , 右焦点和右准线相对应 , 不能混在一起 , 否则距离之比不是常数 , 也不等于离心率 . 【做一做 1】 下列数据可能是椭圆离心率的是 ( )由于椭圆的离心率 0,1),仅有选项 (0,1)圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比 为常数 e(离心率 )的动点的轨迹 ,此时定点称为 焦点 ,定直线称为 准线 .当 e=1时 ,轨迹为抛物线 ;当 01时 ,轨迹为双曲线 名师点拨 椭圆、双曲线、抛物线的统一性 : 一是定义统一 ; 二是都是平面截圆锥面的交线 ; 三是都有焦点和准线 ; 四是它们的方程都是二次方程 3、 . 【做一做 2】 平面 与圆锥的轴线平行 ,圆锥母线与轴线夹角为 60,则平面 与圆锥交线的离心率是 ( ) B. C. 设平面与轴线夹角为 ,母线与轴线夹角为 ,由题意 ,知 =0,=60,故所求离心率 e=曲线的两条准线间的距离剖析 :椭圆的长轴长为 2a,焦距为 2c,则两条准线间距离为 ;双曲线的实轴长为 2a,焦距为 2c,则两条准线间距离为 l1,2是焦点 ,2是顶点 ,由离心率定义 , 1 得 即双曲线的两条准线间距离为 ,同理可证椭圆的两条准线间距离为 型二 题型三题型一 椭圆的离心率 【例 1 】 已知椭圆的焦点为 F 1 , F 2 , 两条准线与实轴所在直线的交点分别 4、为 M , N , 若 2 F 1 F 2 , 求椭圆离心率的取值范围 . 分析 : 利用不等式 2 F 1 F 2 列出关于 a , c 的不等式 , 解得离心率的取值范围 . 型二 题型三解 : 如图所示 , 设椭圆的长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b , 焦距为 2 c , 则两条准线间的距离为 M N = 2 2=2 2, 又 F 1 F 2 = 2 c , 2 F 1 F 2 , 则2 2 2 2 c , 整理得 212, 解得22, 即 e 22, 所以椭圆离心率的取值范围是 22, 1 . 型二 题型三反思 ( 1) 本题易错得椭圆的离心率的取值范围是 22, + , 其原因 5、是忽视了椭圆的离心率是小于 1 的正数这个隐含条件 ; ( 2) 讨论椭圆的离心率问题时 , 要紧扣离心率的定义 e=. 特别是求椭圆离心率的取值范围时 , 通常利用已知条件中的不等式转化为关于 a , c 的不等式 , 解得的取值范围即离心率e 的取值范围 . 型二 题型三【变式训练 1 】 一平面截圆锥的截线为椭圆 , 椭圆的长轴为 8, 长轴的两端点到圆锥顶点的距离分别为 6 和 10, 则椭圆的离心率为 ( ) . A 45C 22型二 题型三解析 :如图所示为截面的轴面 ,则 ,知 0,则 设圆锥的母线和轴所成的角为 ,截面和轴所成的角为 . 即 2 +=90, 椭圆的离心率 e=型 6、二 题型三题型二 双曲线的离心率 【例 2 】 已知 F 1 , F 2 是双曲线的左、右焦点 , 过 F 1 与双曲线实轴垂直的直线交双曲线的左支于 A , B 两点 , 若 是正三角形 , 求双曲线的离心率 . 分析 : 画出图形 , 结合图形定量分析正三角形 2 , 从而确定 a , c 的关系等式 , 解得即离心率 e 的值 . 型二 题型三解 : 如图所示 , 设双曲线的实轴长是 2 a , 焦距为 2 c . 因为 2 是正三角形 , 所以 F 1 =6, 所以 =33F 1 F 2 , =2 33F 1 F 2 . 又 F 1 F 2 = 2 c , - = 2 a , 所以2 33(2 c ) c ) = 2 a , 整理得= 3 . 即双曲线的离心率 e= 3 . 型二 题型三反思 求双曲线的离心率时有两种方法 : 一是求出 a , c 的大小 , 代入离心率的定义式 e=求得 ; 二是利用已知条件列出关于 a , c 的等量关系式 , 整理解得即离心率 e 的值 ( 如本题 ) . 型二 题型三【变式训练 2】 本例 2中 ,仅把已知条件 “ 改为 “。