北师大版必修3高中数学第三章概率

北师大版必修3高中数学第三章概率内容摘要：

概型吗。 为什么。 若是，则求所取两数之一是 2的概率． 【思路探究】 要判断试验是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果是否为有限个；每个结果出现的可能性是否相同． 【自主解答】 (1)在数轴的 0～ 3之间任取一点，此点可以在 0～ 3之间的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型的特征 “ 有限性 ” ，因此不属于 古典概型． (2)因为此试验的所有基本事件共 6个： (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型，两数之一是 2的概率为 p＝ 36＝ 12. 1．列出随机试验的所有基本事件，进而求解相应事件概率． 2．判断是否为古典概型关键是看试验是否同时具备古典概型的两个特征． 下列概率模型中，是 古典概型的个数为 ( ) (1)从区间 [1,10]内任取一个数，求取到 1的概率； (2)从 [1,10]中任意取一个整数，求取到 1的概率； (3)在一个正方形 ABCD内画一点 P，求 P刚好与点 A重合的概率； (4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【解析】 第 1个概率模型不是古典概型，因为从区间 [1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足 “ 有限性 ” ． 第 2 个概率模型是古典概型，因为试验结果只有 10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即 满足有限性和等可能性； 第 3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概型； 第 4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等． 【答案】 A 古典概型概率的计算 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，计算： (1) 恰有两枚出现正面的概率； (2)至少有两枚出现正面的概率． 【思路探究】 先由古典概型的定义判断概型，然后由概率公式求解． 【自主解答】 依题意所有基本事件有 (正，正 ，正 )， (正，正，反 )， (正，反，正 )，(正，反，反 )， (反，正，正 )， (反，正，反 )， (反，反，正 )， (反，反，反 )． (1)用 A表示 “ 恰有两枚出现正面 ” 这一事件，则事件 A包含 (正，正，反 )， (正，反，正 )， (反，正，正 )三个基本事件，而基本事件总数共 8个，故所求概率 P(A)＝ 38. (2)用 B表示 “ 至少有两枚出现正面 ” 这一事件，则事件 B包含 (正，正，正 )， (正，正，反 )， (正，反，正 )， (反，正，正 )四个基本事件，而基本事件总数共 8个，故所求概率 P(B)＝ 48＝ 12. 1．在列出所有可能出现的结果时应注意按一个确定的顺序．保证不重不漏． 2．古典概型概率计算的步骤是：首先判断试验是不是古典概型，若是，则用列举法列出所有基本条件： (1)计算所有的基本事件数 n； (2)计算事件 A包含的基本事件数 m； (3)计算 P(A)， P(A)＝ mn. 将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数， (1)求点数之和是 5的概 率； (2)设 a， b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子 2a－ b＝ 1成立的概率． 【解】 将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为 (a， b)，则全部基本事件有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6)(3,1)，(3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)， (4,6)， (5,1)，(5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)， (5,6)， (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (1)点数之和是 5的基本事件有 (1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)． 所以点数之和是 5的概率是 436＝ 19. (2)由 2a－ b＝ 1可知 a＝ b，点数相等的基本事件有 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)，(6,6)， 所 以 式 子 2a － b ＝ 1 成 立 的 概 率 是 636 ＝16 . 古典概型概念不清致误 把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上、一枚反面向上的概率． 【错解】 三枚硬币掷出，所有可能的结果有 2179。 2179。 2 ＝ 8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率 P＝ 18. 【错因分析】 在所有的 8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果： (正，正，反 )， (正，反，正 )(反，正，正 )，上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有 8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就 不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式 P＝ mn显然就是错误的． 【防范措施】 古典概型的计算务必紧扣它的两个特征有限、等可能． 【正解】 所求概率 P＝ 38. 解决古典概型应注意的问题 1．判断试验是否具有有限性和等可能性． 2．要分清基本事件总数 n及事件 A包含的基本事件数 m，利用公式 P(A)＝ mn求解． 3 ． 常 用 列 举 法 、 列 表 法 、 树 状 图 法 求 基 本 事 件 总数 . 1． 下列事件属于古典概型是 ( ) A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件 B．篮球运动员投篮，观察他是否投中 C．测量一杯水中水分子的个数 D．在 4个完全相同的小球中任取 1个 【解析】 判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 【答案】 D 2．广州亚运会要在某高校的 8 名懂外文的志愿者中选 1 名，其中有 3 人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为 ( ) 【解析】 8名懂外文的志愿者中随机选 1名有 8个基本事件， “ 选到懂日文的志愿者 ”包含 3个基本事件，因此所求概率为 38. 【答案】 A 3． (2020178。 重庆高考 )若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ________． 【解析】 甲、乙、丙三人随机地站成一排有 (甲乙丙 )、 (甲丙乙 )、 (乙甲丙 )、 (乙丙甲 )、 (丙甲乙 )、 (丙乙甲 )共 6种排法，甲、乙相邻而站有 (甲乙丙 )、 (乙甲丙 )、 (丙甲乙 )、(丙乙甲 )共 4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为 46＝ 23. 【答案】 23 4．一个口袋中装有 2个白球和 2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出 2个球． (1)写出该试验的基本事件及基本事件总数； (2)求至少摸到 1个黑球的概率． 【解】 (1)设 2个白球编号为 1,2,2个黑球编号为 3,4，则基本事件是 (1,2)， (1,3)，(1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)，共有 6个基本事件． (2)设至少摸到 1个黑球为事件 A，则事件 A包含的基本事件共有 5个， 所以 P(A) ＝56 . 一、选择题 1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有 ( ) A． (男，女 )， (男，男 )， (女，女 ) B． (男，女 )， (女，男 ) C． (男，男 )， (男，女 )， (女，男 )， (女，女 ) D． (男，男 )， (女，女 ) 【解析】 两个孩子有先后出生之分，与顺序有关．如 (男，女 )和 (女，男 )是两种不同的结果． 【答案】 C 2．从 1,2， „ ， 9共 9个数字中任取 一个数字，取出的数字为偶数的概率为 ( ) 【解析】 1,2,3， „ ， 9中共有 5个奇数， 4个偶数，故任取一个数字为偶数的概率为49. 【答案】 C 3．下列随机事件的数学模型属于古典概型的是 ( ) A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点 C．某射击手射击 一次，可能命中 0环、 1环、 2环、 „ 、 10环 D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会 【解析】 利用古典概型的两个条件判断．在 A中，事件 “ 发芽 ” 与事件 “ 不发芽 ” 发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在 B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在 C 中，命中 0环、 1环、 2环、 „ 、 10环的概率都不一样． 【答案】 D 4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，则点 P(m， n)在直线 x＋ y＝ 4 上的概率是 ( ) 【解析】 由题意 (m， n)的取值共有 (1,1)， (1,2)， (1,3)， „ ， (1,6)； (2,1)， (2,2)， „ ，(2,6)； „ ； (6,1)， (6,2)， „ ， (6,6)这 36 种情况，而满足点 P(m， n)在直线 x＋ y＝ 4 上的取值情况有 (1,3)， (2,2)， (3,1)共 3种情况，故所求概率为 336＝ 112. 【答案】 D 5． (2020178。 课标全国卷 Ⅰ )从 1,2,3,4中任取 2 个不同的数，则取出的 2个数之差的绝对值为 2的概率是 ( ) 【解析】 从 1,2,3,4中任取 2个不同的数，有 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)，(2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)，共 12种情形，而满足条件 “2 个数之差的绝对值为 2” 的只有 (1,3)， (2,4)， (3,1)， (4,2)，共 4种 情形，所以取出的 2个数之差的绝对值为 2的概率为 412＝ 13. 【答案】 B 二、填空题 6． (2020178。 浙江高考 )从 3男 3女共 6名同学中任选 2名 (每名同学被选中的机会均等 )，这 2名都是女同学的概率等于 ________． 【解析】 用 A， B， C表示三名男同学，用 a， b， c表示三名女同学，则从 6名同学中选出 2人的所有选法为： AB， AC， Aa， Ab， Ac， BC， Ba， Bb， Bc， Ca， Cb， Cc， ab， ac， bc，共 15种选法，其中都是女同学的选法有 3种，即 ab， ac， bc，故所求概率为 315＝ 15. 【答案】 15 7．在 1,2,3,4,5 这 5个自然数中，任取两个数，它们的积是偶数的概率是 ________． 【解析】 从 5个自然数中任取两个数共有 10种取法，列举如下： (1,2)， (1,3)， (1,4)，(1,5)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,4)， (3,5)， (4,5)，若两个数的积是偶数，则这两个数中至少有一个是偶数，满足条件的有 (1,2)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,4)， (4,5)共 7种情况，故所求概率为 710. 【答案】 710 8．若以连续掷两次均匀的骰子分别得到的点数 m、 n 作为 P 点的坐标，则点 P 在圆 x2＋ y2＝ 16内的概率为 ________． 【解析】 基本事件的总数为 6179。 6 ＝ 36(个 )，设事件 A＝ “ P(m， n)落在圆 x2＋ y2＝ 16内 ” ，则 A所包含的基本事件有 (1,1)、 (2,2)、 (1,3)、 (1,2)、 (2,3)、 (3,1)、 (3,2)、 (2,1)共 8个．所以 P(A)＝ 836＝ 29. 【答案】 29 三、解答题 9．一个口袋内装有大小、质地相同的 1个白球和已有不同编号的 3个黑球，从中任意摸出 2个球． (1)共有多少种不同的基本事件，这些基本事件是否为等可能的。 该试验属于古典概型吗。 (2)摸出的 2个球都是黑球记为事件 A，问事件 A包含几个基本事件； (3)计算事件 A的概率． 【解】 (1)任意摸出 2球，共有 “ 白球和黑球 1” 、 “ 白球和黑球 2” 、 “ 白球和黑球3” 、 “ 黑球 1和黑球 2” 、 “ 黑球 1和黑球 3” 、 “ 黑球 2和黑球 3”6 个基本事件．因为4个球的大小 、质地相同，所以摸出每个球是等可能的，故 6个基本事件是等可能的．由古典概型定义知这个试验属于古典概型． (2)从 4个球中摸出 2个黑球包含 3个基本事件，故事件 A包含 3个基本事件． (3)因为试验中基本事件总数 n＝ 6，而事件 A包含的基本事件数 m＝ 3， 所以 P(A)＝ mn＝ 36＝ 12. 10． (2020178。 陕西高考 )有 7位歌手 (1至 7号 )参加一场歌唱比赛，由 500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为。