（人教A版）选修2-3数学 2.3.2《离散型随机变量的方差》ppt课件

（人教A版）选修2-3数学 2.3.2《离散型随机变量的方差》ppt课件内容摘要：

1、2 散型随机变量的方差 自 主 预 习 学习目标 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题3掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差 点是离散型随机变量的方差、标准差的概念与求法2难点是由分布列求方差或标准差 离散型随机变量的方差的概念 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 描述了 i 1,2 ， ， n ) 相对于均值 E ( X ) 的 偏离程度而 D ( X ) 为这些偏离程度的加权平均，我们把 D ( X ) 称为随机变量 X 的 ，其算术平方根D X 称为随机变量 X 的 (E(X)2i 1n( x i E ( X ) 2 p i 方差标 2、准差2 随机变量的方差和标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了 ，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度 随机变量取值偏离于均值的平均程度越小问题思考 1 ： 随机变量的方差与样本方差的关系是怎 样的。 提示： 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量 X 与其均值 E ( X ) 的平均偏离程度，因此它是一个常数 ( 量 ) 而非变量对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差 3 方差的计算公式 (1) 若 X 服从两点分布，则 D ( X ) ； (2) 若 X B ( n ， p 3、) ，则 D ( X ) ； (3) D ( b ) p(1 p) p)问题思考 2 ： 数学期望与方差的关系是怎样的。 提示： 数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度 . 要 点 导 学 要点一 求离散型随机变量的方差求方差 和标准差的关键在于求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求均值，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量 b 的方差可用 D ( b ) a 2 D ( X ) 求解 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 4、 个 ( n 1,2,3,4) 现从袋中任取一球， 表示所取球的标号 (1) 求 的分布列、均值和方差； (2) 若 b ， E ( ) 1 ， D ( ) 11 ，试求 a ， b 的值 【思路启迪】 【解】 (1) 由题意得， 的所有可能取值为 0,1,2,3,4 ， P ( 0) 102012， P ( 1) 120， P ( 2) 220110， P ( 3) 320，P ( 4) 42015. 故 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1212011032015所以 E ( ) 0 12 1 120 2 110 3 320 4 15 D ( ) (0 12 (1 1. 5)2120 ( 5、2 110 (3 320 (4 15 (2) 由 D ( b ) ) 11 ， E ( b ) ) b 1 ，及E ( ) D ( ) ， 1 1,1.5 a b 1 ，解得 a 2 ，b 2 或 a 2 ， b 4. 利用公式 E ( b ) X ) b ， D ( b ) X ) ，将求E ( b ) ， D ( b ) 的问题转化为求 E ( X ) ， D ( X ) 的问题，从而可以避免求 b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算 已知 Y 的分布列为： Y 0 10 20 50 60 P 1325115215115(1) 求 D ( Y ) ， D 6、 Y ； (2) 设 Z 2 Y E ( Y ) ，求 D ( Z ) 的值 解： (1) E ( Y ) 0 13 10 25 20 115 50 215 60 11516. D ( Y ) (0 16)213 (10 16)225 (20 16)2115 (50 16)2215 (60 16)2115 384. D Y 8 6 . (2) 方法一： Z 的分布列为： Z 16 4 24 84 104 P 1325115215115E ( Z ) 16 13 4 25 24 115 84 215 104 115 16. D ( Z ) ( 16 16)213 (4 16)225 (24 16 7、)2115(84 16)2215 (104 16)2115 1 536. 方法二 ： D ( Z ) D (2 Y E ( Y ) 4 D ( Y ) 4 384 1 536. 要点二 两点分布与二项分布的方差在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，判断随机变量 服从什么分布，代入相应的公式求解若 服从两点分布，则 D ( ) p (1 p ) ；若 服从二项分布，即 B ( n ， p ) ，则 D ( ) 1 p ) 某人投弹击中目标的概率为 p (1) 求投弹一次，命中次数 X 的均值和方差； (2) 求重复 10 次投弹时，击中次数 Y 的均值 和方差 【思路启迪】 投弹一次的命中次数 8、 X 服从两点分布，而重复 10 次投弹可以认为是 10 次独立重复试验，击中次数 Y 服从二项分布 【解】 (1) X 的分布列为 X 0 1 P E ( X ) 0 1 D ( X ) (0 (1 (2) 由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y B (10,， E ( Y ) 10 8 ， D ( Y ) 10 在解决此类题型时，要重视二项分布在解题中的作用，如果题目中的随机变量符合二项分布，就应直接利用公式求均值和方差，以简化解题过程 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 (1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的 9、概率； (2) X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的均值和方差 解： 设事件 A 表示 “ 该地的 1 位车主购买甲种保险 ” ，事件 B 表示 “ 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种 保险 ” ，事件 C 表示 “ 该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种 ” ，事件 D 表示 “ 该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买 ” ，则 A ， B 相互独立 (1) 由题意知 P ( A ) P ( B ) C A B ， 则 P ( C ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) (2) D C ， P ( D ) 1 P 10、 ( C ) 1 由题意知 X B (100,， 所以均值 E ( X ) 100 20 ，方差 D ( X ) 100 16. 要点三 方差的实际应用离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的 平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下： 1 10 120 125 13 11、0 135 P 100 1 15 125 130 145 P 其中 和 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于 120 ，那么甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好。 【思路启迪】 比较甲、乙两厂材料的抗拉强度的均值、方差的大小，从而进行判断 【解】 E ( ) 1 10 120 0. 2 125 0. 4 130 0. 1 135 125 ， E ( ) 100 1 1 5 125 130 145 125 ， D ( ) (1 10 12 5)2 (120 125)2 (125 125)2 (130 125)2 (135 125)2 50 ， D ( ) (100 125)2 (1 15 125)2 (125 125)2 (130 125)2 (145 125)2 165 ， 由于 E ( ) E ( ) ， 而 D ( ) D ( X 乙 ) ， 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 答案： B 4 已知 X 的分布列为： X 1 0 1 P 121316若 2 X 2 ，则 D ( ) 的值为 _ 解析： E ( X ) 1 12 0 13 1 1613， D ( X ) 59， D ( ) D (2 X 2) 4 D ( X ) 209. 答案： 20 9 5 随机变量 的分布列如下表，且 E ( ) 1. 1 ，。