（人教A版）选修2-3数学 1.1.1《两个计数原理及简单应用》ppt课件

（人教A版）选修2-3数学 1.1.1《两个计数原理及简单应用》ppt课件内容摘要：

1、1 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第 1课时 两个计数原理及简单应用 自 主 预 习 学习目标 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 点是对两个原理的理解2难点是学生对事件的把握和两个原理的应用 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完成这件事共有 N 种不同的方法 m 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N 种不同的方法 m 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 (1) 联系：都是涉及做一 2、件事的 的种数问题 (2) 区别：分类加法计数原理针对的是 问题，其中各种方法 ，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是 问题，各个步骤中的方法 ，只有各个步骤都完成才算做完这件事 不同方法“分类”相互独立“分步”互相依存问题思考： 如何区分 “ 完成一件事 ” 是分类还是分步。 提示： 区分 “ 完成一件事 ” 是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步 . 要 点 导 学 要点一 分类加法计数原理1. “ 做一件事，完成它可以有 n 类办法 ” ，这是对完成这件事的所有办法的一个分类分类时，要注意满 足两条基本原则： (1) 完成这件事 3、的任何一种方法必须属于某一类； (2 ) 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法 2 加法原理的特点是： (1) 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成 n 类； (2) 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； (3) 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数 高二 (1) 班有学生 50 人，男生 30 人；高二 (2)班有学生 60 人，女生 30 人；高二 (3) 班有学生 55 人，男生 35人 (1) 从中任选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法。 (2) 从高二 (1) 班、 (2) 班男生中，或从高二 (3) 班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同 4、的选法。 【思路启迪】 (1) 完成的事是从三个班级中选一名学生任学生会主席； (2) 完成的事是从 (1 ) 、 (2) 班男生中或 (3) 班女生中选一名学生任体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解 【解】 (1) 选一名学生任学生会主席有 3 类不同的选法： 第一类，从高二 (1) 班任选一名，有 50 种不同的方法； 第二类，从高二 (2) 班任选一名，有 60 种不同的方法； 第三类，从高二 (3) 班任选一名，有 55 种不同的方法 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50 60 55 165 种 (2) 选一名学生任学生会体育部长有 3 类不同的选 5、法： 第一类，从高二 (1) 班男生中任选一名，有 30 种不同的方法； 第二类，从高二 (2) 班男生中任选一名，有 30 种不同的方法； 第三类，从高二 (3) 班女生中任选一名，有 20 种不同的方法 故选一名学生任学生会体育部长有 30 30 20 80 种不同的方法 利用分类加法计数原理计数，首先搞清要完成的 “ 一件事 ” 是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成 “ 这件事 ” 的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类加法计数原理计算总方法数 如图所示，在 A ， B 间有四个焊接点1,2,3,4 ，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，今发现 A ， 焊接点脱落 6、的不同情况有 ( ) A 9 种 B 11 种 C 13 种 D 15 种 解析： 按照可能脱落的个数分类讨论若脱落 1 个，则有(1) ， (4 )2 种情况；若脱落 2 个，则有 (1,4) ， (2, 3) ， (1,2) ， ( 1,3) ，(4,2) ， (4,3 ) 6 种情况；若脱落 3 个，则有 (1,2,3 ) ， (1,2,4) ， ( 2,3,4) ，(1,3,4)4 种情况；若脱落 4 个，则有 (1,2,3,4) 1 种情况综上，共有 2 6 4 1 13 种情况故选 C. 答案： C 要点二 分步乘法计数原理1. “ 做一件事，完成它需要分成 n 个步骤 ” ，就是 7、说完成这件事的任何一种方法，都要分成 n 个步骤，要完成这件事 必须并且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事才算完成 2 乘法原理的特点是： (1) 完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可； (2) 完成每一步有若干种方法； (3) 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数 已知 a 3,4,6 ， b 1,2,7,8 ， r 8,9 ，则方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 可表示多少个不同的圆 【思路启迪】 依题意知方程 ( x a )2 ( y b )2 a ， b ) 为圆心，半径为 r 的圆， a 取自 3 、 4 、 6 中的一 个数， 、 2 、 8、7 、 8 中的一个数， r 取自 8 、 9 中的一个数， a 、 b 、r 三个量中只要其中一个取值不同就表示不同的圆，解答本题可按 a 、 b 、 r 的取值顺序，利用分步乘法计数原理解决 【解】 按 a 、 b 、 r 取值顺序分步考虑： 第一步： a 从 3 、 4 、 6 中任取一个数，有 3 种取法； 第二步： b 从 1 、 2 、 7 、 8 中任取一个数，有 4 种取法； 第三步： r 从 8 、 9 中任取一个数，有 2 种取法； 由分步乘法计数原理知，表示的不同圆有 N 3 4 2 24 个 利用分步乘法计数原理解 决问题时，一定要正确设计 “ 分步 ” 的程序，即完成 9、这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步乘法计数原理求解 已知集合 M 3 ， 2 ， 1,0,1,2 ， P ( a ，b )( a ， b M ) 表示平面上的点，问： (1) 点 P 可表示平面上多少个不同的点。 (2) 点 P 可表示平面上多少个第二象限内的不同的点。 解： (1) 确定平面上的点 P ( a ， b ) ，可分两步完成：第一步确定 a 的值，有 6 种不同方法；第二步确定 b 的值，也有 6 种不同方法根据分 步乘法计数原理，得到平面上不同的点 P 的个数为 6 6 36. (2) 确定平面上第二象限内的点 P ( a ， b ) ， 10、可分两步完成：第一步确定 a 的值，由于 a 0 ，所以有 2 种不同方法由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内不同的点 P 的个数为 3 2 6. 要点三 两个计数原理的应用使用两个原理解题时，一定要从 “ 分类 ” 、 “ 分步 ” 的角度入手， “ 分类 ” 是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理； “ 分步 ” 就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理 现有高一四个班的学生 34 人，其中一、二、三、四班各 7 人、 8 人、 9 人、 10 人，他们自愿组成数学课外小组 (1) 选其中一人为负责人，有多少种不同的 11、选法。 (2) 每班选一名组长，有多少种不同的选法。 (3) 推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法。 【思路启迪】 (1) 第 (1 )( 2) 问是什么问题。 可用哪个原理求解。 (2) 第 (3) 问中，从做中心发言的两人来自不同的班级看，应将问题分成几类解决。 每类又如何求解。 【解】 (1) 分四类：第一 类，从一班学生中选 1 人，有 7种选法；第二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选1 人，有 10 种选法 由分类加法计数原理知共有不同的选法 N 7 8 9 10 34( 种 ) ( 12、2) 分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长 由分步乘法计数原理知共有不同的选法 N 7 8 9 10 5 040( 种 ) (3) 分六类，每类又分两步从一、二班学生中各选 1 人，有 7 8 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 7 9种不同的选法；从一、 四班学生中各选 1 人，有 7 10 种不同的选法；从二、三班学生中各选 1 人，有 8 9 种不同的选法；从二、四班学生中各选 1 人，有 8 10 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有 9 10 种不同的选法 所以，共有不同的选法 N 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 1 13、0 431( 种 ) 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1) 明确完成的这件事是什么 (2) 思考如何完成这件事 (3) 判断它属于分类还是分步，还是先分类后分步，还是先分步后分类 (4 ) 选择计数原理进行计算 如图，从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走从甲地到丙地共有多少种不同的走法。 解： 要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 第 1 类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： 第 1 步，从甲地到乙地，有 3 条公路可走； 第 2 步，从乙地到丙地，有 2 条公路可走 根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有 3 2 6种 14、不同的走法 第 2 类，从甲地不经乙地到丙地，有 2 条水路可走，即有2 种不同的走法 根据分类加法计数原理，从甲地到丙地共有 6 2 8 种不同的走法 易错点：分类不明确致误 已知 100 到 999 的三位数，求其中含有 0 的三位数有多 少。 【错解】 将含有数字 0 的三位数分为两类： 第一类，个位是 0 的，有 9 10 90( 个 ) ； 第二类，十位是 0 的，有 9 10 90( 个 ) 由分类加法计数原理，共有 90 90 180( 个 ) 【错因分析】 分类应注意 “ 不重、不漏 ” ，此解法中重复了个位和十位都是 0 的有 9 个 【正确解答】 将含有数字 0 的三位数分为三类： 第一类，个位是 0 ，而十位不是 0 的，有 9 9 81( 个 ) ； 第二类，十位是 0 而个位不是 0 的，有 9 9 81( 个 ) ； 第三类，个位和十位都是 0 的，有 9( 个 ) 由分类加法计数原理，共有 81 81 9 171( 个 ) 要解决。