（人教B版）数学选修2-2 第1章《导数及其应用》章末归纳课件

（人教B版）数学选修2-2 第1章《导数及其应用》章末归纳课件内容摘要：

1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2导数及其应用第一章章末归纳总结第一章知 识 结 构1知 识 梳 理2 随 堂 练 习4专 题 探 究3知 识 结 构知 识 梳 理一、导数的概念、求法及其应用1导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般地方法如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题2对于求导数，要熟记公式，掌握规则，灵活运用3导数的应用主要体现在以下几个方面：(1)切线斜率：根据导数的几何意义，函数 f(x)在点 f(x)在点 P(f(处的切线斜率因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在 2、该点处的导数(2)求函数的单调性、极值、最值(3)利用导数研究实际问题的最值关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系列出函数式 y f(x)，然后利用导数求函数 f(x)的最值，求函数 f(x)的最值时，若 f(x)在区间(a， b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较二、定积分的求法和应用1 求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数，为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证2利用定积分求平面图形的面积将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积分变量，积 3、分上限、下限一般步骤为：(1)画图；(2)确定要素 (找到所属基本型，确定被积函数和积分上、下限 )；(3)转化求值要注意当所围成的图形在 此，需对其定积分取绝对值专 题 探 究确定函数 y f(x)在点 y f ( x ) 在点 1 导数定义法：利用导数概念求函数 y f ( x ) 在点 函数的增量 y f ( x ) f ( ；求平均变化率 ( 即增量比 ) y xf x f x；取极限确定导数 f ( l i m r 0 y x l i m x 0f x f x，导数的定义还可写成 f ( l i x f x0x 2 导函数的函数值法：利用导函数的函数值法求函数 y f ( x ) 在 4、点 x 0 处的导数分两步进行：求函数 f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内的导数 f ( x ) ；将 x 0 ( a ， b ) 代入导函数 f ( x ) 得到函数值f ( x 0 ) ，即为函数 y f ( x ) 在点 x 0 处的导数 试求函数 f ( x ) x (2 | x |) 在 x 0 处的导数值 f ( 0 ) 解析 因为f 0 x f 0 xf x x x 2 | x | x 2 | x |， 所以 f ( 0 ) l i m x 0f 0 x f 0 x l i m x 0( 2 | x |) 2. 方法总结 对于带绝对值的在某点可导的函数，可直接应用导 5、数的定义求导 . 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点常见类型有两种：一是求 “ 在某点处的切线方程 ”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求 “ 过某点的切线方程 ” ；这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(则切线方程为 y f(x再由切线过点 P( f(又 f(由求出 求出了过点 P(切线方程利用导数的几何意义求切线方程 已知函数 f ( x ) 3 6 11 ， g ( x ) 3 x 12 ，直线 m ： y 9 ，又 f ( 1) 0. ( 1 ) 求 a 的值； ( 2 ) 是否存在实数 k ，使直线 m 既是曲线 y f ( 6、 x ) 的切线，又是 y g ( x ) 的切线。 如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由 分析 ( 1 ) 求 f x f 1 0 a 2 ( 2 ) 设直线 m 与 y g x 相切 求出 相应切线斜率与切线方程 检验切线是否与 y f x 相切 结论 解析 ( 1 ) 因为 f ( x ) 3 6 x 6 a ，且 f ( 1) 0 ， 3 a 6 6 a 0 ， a 2. ( 2 ) 因为直线 m 过定点 ( 0 , 9 ) ，先求过点 ( 0 , 9 ) 与曲线 y g ( x ) 相切的直线方程 设切点为 ( 6 1 2 ) ，又 g ( 6 6 ， 切线方程为 y (3 7、6 12) (6 6 ) ( x ， 将点 ( 0 , 9) 代入得 9 3 6 12 6 6 3 3 0 ， 1 ， 当 1 时， g ( 1 ) 12 ，切点坐标为 ( 1 , 2 1 ) ，所以切线方程为 y 12 x 9 ； 当 1 时， g ( 1) 0 ，切点坐标为 ( 1 , 9 ) ，所以切线方程为 y 9. 下面求曲线 y f ( x ) 的斜率为 12 和 0 的切线方程： f ( x ) 2 3 12 x 11 ， f ( x ) 6 6 x 1 2 . 由 f ( x ) 12 ，得 6 6 x 12 12 ， x 0 或 x 1. 当 x 0 时， f ( 0 ) 1 8、1 ，此时切线方程为 y 12 x 11 ； 当 x 1 时， f ( 1 ) 2 ，此时切线方程为 y 12 x 1 0 . 所以 y 12 x 9 不是公切线 由 f ( x ) 0 ，得 6 6 x 12 0 ， 即有 x 1 ，或 x 2. 当 x 1 时， f ( 1) 18 ，此时切线方程为 y 18 ；当 x 2 时， f ( 2 ) 9 ， 此时切线方程为 y 9. 所以 y 9 是公切线 综上所述，当 k 0 时， y 9 是两曲线的公切线 . 求一个函数的导数的基本方法有三种：一是利用定义，二是利用基本初等函数的导数公式，三是把函数分解成为基本初等函数的和、差、积、商的运算 9、，再利用导数的运算法则进行计算，其中以第三种较为常见在第三种运算中，对不具备求导法则所要求的结构形式的函数要进行适当的变形，比如 (1)函数中有两个以上因式乘积的形式，可利用多项式的乘法展开后再求导 (2)利用代数恒等变形，避开商的求导，简化运算 (3)利用三角恒等变形简化求导过程等等导数的运算问题 求函数 y 3 x x 5 x 9x 的导数 分析 本题若直接用商的求导法则求导，会非常繁琐，故先化简为幂的多项式再求导是明智之举 解析 因为 y 3 x 5 9 x12 ， 所以 y 332 1 9 ( 12) x32 9 1 1. 求 y x m nx n n n 0) 的导数 分析 从这个函 10、数的结构来看，是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式 解析 y 1 nx n 1 1 ， y ( m 1) x m 2 n ( n 1) x n 21 2 . 求复合函数的导数 ， 一般是利用复合函数的求导法则 ， 将问题转化为基本函数的导数解决 分析清楚复合函数的复合关系 ， 它是由哪些基本函数 (存在求导公式 )复合而成 ， 适当选定中间变量； 分步求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导 ， 而其中特别注意的是中间变量的系数； 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则 ， 求出各函数的导数 ， 并把中间变量转回原自变量的函数； 复合函数的求导程序熟 11、练以后 ， 中间步骤可以省略 ， 不必再写出函数的复合过程 ， 对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数 ， 可以直接使用公式和法则 ，从最外层开始由外及里逐层求导 复合函数的求导 设曲线 y e 点 ( 0 ,1 ) 处的切线与直线 x 2 y 1 0 垂直，则 a _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案 2 分析 先求解 y e 导函数，再求解它在 ( 0 , 1 ) 处的导数值，利用线线垂直的斜率关系求解即可 解析 y a e 所以切线的斜率 k y | x 0 a ，所以由 a ( 12 ) 1 ，得 a 2. 方法总结 注意 y e 导数等于 ( 和 e 乘积，外函数的导数是运用了 12、基本初等函数 (e x ) e x 这一结论求解的 求 f ( x ) x 2 的导数 分析 因为题目所给函数是由三层函数复合而成的，如果直接求导，将会很麻烦，注意到这是一个对数函数，能利用对数的性质先化简 解析 f ( x ) 12 l n ( 1 l n ( 1 ， 所以 f ( x ) 12(2 2 方法总结 对于解析式复杂的复合函数求导，特别是由二层以上复合而成的函数，若能先对其化简然后再对其求导，则求解过程非常方便、快捷 . 把脉函数单调性 ， 注意三关系1. f ( x ) 0 与 f ( x ) 为增函数的关系： f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 为增函数，反之不一定成立，如 f ( x ) ， ) 上单调递增，但 f ( x ) 0. 所以 f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要。