（人教B版）选修2-2 1.4.1《曲边梯形面积与定积分》ppt课件

（人教B版）选修2-2 1.4.1《曲边梯形面积与定积分》ppt课件内容摘要：

1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2积分与微积分基本定理第 1课时 曲边梯形面积与定积分第一章课堂典例探究2课 时 作 业3课前自主预习1课前自主预习大自然是懂数学的你看，在我们生活的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成同样，花卉的花瓣也是曲线形状的那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面积呢。 到 函数 f(x)在 x 案： 1 . 12 22 6n ( n 1 ) ( 2 n 1) 2 f ( x 0 ) l i m x 0f x 0 x f x 0 积分的实际背景1曲边梯形的概念如图 (1)，阴影部分类似于 2、一个梯形，但有一边是曲线 yf(x)的一段我们把由直线 x a， x b(a a ) ，求这种变力所做的功是多少 解： ( 1 ) 将 a 、 b 之间分割成 n 个小区间设 a 情况特作如下的规定： 当 a b 时， x )d x 0 ； 当 a b 时， x )d x x )d x . 当定积分的上下限相同时，定积分的值为 0 ；当交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变，但相差一个负号 ( 4 ) 定积分 x )d x 就是积分和式的极限 l i 0i 0n 1f ( i) x )d x 只是这种极限的一种符号，读作 “ 从 a 到 b 函数 f ( x ) 的定积分 ” 2 关于定积分 3、的几何意义 ( 1 ) 定积分表示面积 从几何上看，如果在空 间 a ， b 上函数 f ( x ) 连续且恒有f ( x ) 0 ，那么定积分 x )d x 表示由直线 x a ， x b ( a b ) ， y 0 和曲线 y f ( x ) 所围成的曲边梯形面积，这就是定积分 x )d (2)定积分表示面积的代数和以上考虑的问题中被积函数的值是非负的，定积分的值也为非负的，如果被积函数是负的，函数曲线在 积分的值就是曲边梯形的面积的相反数当被积函数在积分区间上有正、有负时，定积分就是 3)特别注意：定积分可以是面积，体积，功，路程，压力，还有更多的实际意义利用定积分的几何意义求定积分的步 4、骤(1)准确画出图形(2)通过解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以考虑下列因素 被积函数的原函数易求； 较少的分割区域； 积分的上、下限比较简单( 4 ) 写出定积分，注意当 f ( x ) 0 时， S ab f ( x )d x ；而当f ( x ) 0 时， S ab f ( x )d x . 利用定积分的几何意义求定积分： 224 x 2 d x . 解析 被积函数的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积， 有 224 x 222 2 . 课堂典例探究利用定积分的定义，求由直线 x 1， x 2， 5、y0及 y 分析 将区间 1,2平均分为 曲边梯形分成 矩形面积近似代替每个小曲边梯形的面积，然后求各曲边梯形面积的和，最后取极限、得结论曲边梯形面积的求法解析 如图所示 把区间 1 , 2 等分成 n 个小区间1 ，n 1n，n 1n，n 2n， ，n in，n i 1n， ，n n 1 n， 2 ，每个小区间的长度为 x n i 1nn n，过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形 D 分割成 n 个小曲边梯形，再分别用小区间的左端点的纵坐标n x 1是图中曲线之下小矩形面积依次为 131n，n 1n，n 2n， ，2 n 1n. 所有这些小矩形的面积和 ( 图中阴影部分面积 ) i 0n 1 6、n n1i 0n 1( n i )31i 0n 1( 3 3 1 3 n2n n 1 2 3 n 16( n 1) n (2 n 1) 14( n 1)2， l i i 0n 1n n 1 32 1 14154. 方法总结 ( 1 ) 曲边梯形不是我们常见的规则四边形，所以不能直接用已有的公式求其面积，可以将它分割成许多小的曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些面积近似求和，就得到了梯形面积的近似值，当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积 ( 2 ) 在求和时，可先提取1n，再将和式进行化简处理，求得S 的值 将本例改为 “ 求由 x 0， x 2， y 0 7、及 y 解析 将 0 , 2 平均分成 n 等份，每份2n，第 i 个小曲边梯形的面积 n2 S l i 2n 24 2 l i 1613 23 33 l i 4 n 1 2 4. 求变力所做的功物体在力 F 的作用下从静止开始运动，力 F 的大小与位移 s ( m ) 的关系是： F 13s 1 ，求物体运动 5m 的过程中力 F 所做的功 解析 ( 1 ) 分割：将区间 0 , 5 n 等分，得 s 5n， s i5 ( 2 ) 近似代替： F i13s i 1 53 1 ， 在 s i， s i 1 的位移内，力 F W i F i s 5n 53 1 253 n2 i 5n. ( 3 8、) 求和：物体运动 5m 过程中力 F 做的功 W 近似地等于 i 1i 1n253 n2 i 5n553n n 1 2 5 n 1 6 n 5. ( 4 ) 取极限：当 n 趋于 时， W 无限趋近于556，于是物体运动 5m 的过程中力 F 所做的功为5 56J. 方法总结 本题为变力做功问题，与解决曲边梯形面积方式是一样的，都要对某一函数实行相同结构的数学运算 某物体做变速直线运动，设该物体在时间 t 的速度为 v ( t ) 6t 2 ，求物体在 t 1 到 t 2 这段时间内运动的路程 s . 解析 s l i i 11 i 1n 1 l i i 1n6 n n i 1 n i l 9、i 6 n1n12 n 3. 点评 由于作积分和时可取区间 t 为便于求和取1 i 1n 1 t 利用积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义，求： ( 1 ) 339 x ； ( 2 )03(2 x 1 ) d x . 分析 利用几何意义求定积分关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确的利用相关的几何知识求面积不规则的图形常利用分割法求面积注意分割点的准确确定 解析 ( 1 ) 在平面上 y 9 为半径的上半圆如图 ( 1 ) 所示， 其面积为 S 12 3292. 由定积分的几何意义知 339 x 92. (2) 在平面上， f ( x ) 2 x 1 为一条直线 . 03(2 10、x 1)d x 表示直线 f ( x ) 2 x 1 ， x 0 ， x 3 围成的直角梯形 的面积，如图 (2) 其面积为 S 12(1 7) 3 12. 根据定积分的几何意义知03(2 x 1)d x 12. 方法总结 利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要 合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，另外，结合图形更直观形象的辅助作题 利用定积分的性质和几何意义表示下列曲线围成的平面区域的面积 ( 1 ) y 0 ， y x ， x 2 ； ( 2 ) y x 2 ， x 解析 ( 1 ) 曲线所围成的区域如图 所示，设此面积为S ，则 S 02 ( x 0 ) d x 11、 02 x d x . ( 2 ) 曲线所围成的平面区域如图 所示 S A 1 A 2 ， A 1 是由 y x ， y x ， x 1 围成的图形的面积 A 2 是由 y x ， y x 2 和 x 1 围成的图形的面积 A 1 01 x ( x ) d x ， A 2 14 x ( x 2 ) d x . S 012 x d x 14( x x 2 ) d x . 用定积分的几何意义求 10x d x . 错解 由直线 x 0 ， x 1 ， y 0 ， y x 所围成的图形，如图阴影部分所示， 10x d x 表示该图形的面积所以 10x d x 12 1 112. 辨析 要正确理解定积分的几何意义，当 f ( x ) 0 时， x )d x 表示面积的相反数 正解 10x d x 12 1 1 12 . 定积分定积分的实际背景 了解 曲边梯形的面积变力做功定积分的概念 了解 和式的极。