（人教B版）选修2-2 1.3.1《利用导数判断函数的单调性》ppt课件

（人教B版）选修2-2 1.3.1《利用导数判断函数的单调性》ppt课件内容摘要：

1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2数的应用第 1课时 利用导数判断函数的单调性第一章课堂典例探究2课 时 作 业3课前自主预习1课前自主预习研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势 (走高或走低 )以及股票价格的变化范围 (封顶或保底 )从股票走势曲线图来看，股票有升有降在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性那么，函数的单调性与导数有什么关系呢。 导数的几何意义是什么。 答案： 内某个区间 时，都有 f( f(0，则称函数 f(x)在区间 果对于定义域 上的任意两个自变量的值 时，都有 f( f( ，切线的倾斜角小于 9 0 ，函数曲线呈上升趋势；当切线斜率为负 2、时， f ( x ) 0，则 f(x)在此区间内是增函数，(a， b)为 f(x)的单调增区间；(2)如果在 (a， b)内， f(x)0，则 f(x)在这个区间上严格递增，这时该函数在这个区间内为严格增函数；如果函数y f(x)在自变量 有 f(x) 0 是 f ( x ) 为增函数的一个充分不必要条件，f ( x ) 0 . 故有可导函数 f ( x ) 在某个区间内单调递增 ( 或递减 ) 的充要条件为f ( x ) 0( 或 f ( x ) 0 ) ( f ( x ) 不恒为零 ) 2 利用导数判断或证明可导函数 y f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内单调性的步骤： ( 1 3、 ) 求 f ( x ) ； ( 2 ) 确定 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的符号； ( 3 ) 得出结论 讨论函数 f ( x ) x a 0 ) 的单调性 解析 易知函数的定义域为 x | x R ， x 0 f ( x ) ( x 1 1 x a )( x a ) 令 f ( x ) 0 ，则1 x a )( x a ) 0 ， 解得 x a ， 知函数 f ( x ) 在区间 ( ， a ) ， ( a ， ) 上是增函数； 令 f ( x ) 0，则 f(x)为增函数；如果 f(x)0或f(x)0和 f(x) g ( x ) ， x ( a ， b ) ，可以转化为证明 4、 f ( x ) g ( x ) 0 . 若 f ( x ) g ( x ) 0 ，则说明函数 F ( x ) f ( x ) g ( x ) 在区间( a ， b ) 上是增函数；若 f ( a ) g ( a ) 0 ，即 F ( a ) o ，则由增函数的定义可知，当 x ( a ， b ) 时， f ( x ) g ( x ) 0 ，即 f ( x ) g ( x ) 简言之，若证明不等式成立，可采用构造函数的方法，利用函数的单调性来证明，而导数和函数的单调性之间有着密切的关系，最后转化为用导数证明不等式 已知： x1， 求证： x x) 证明 令 f ( x ) x l n ( 1 5、x )( x 1 ) ， 则 f ( x ) 1 11 x x. x 1 ， f ( x ) 0 ， f ( x ) 在区间 (1 ， ) 上单调递增 又 f ( 1 ) 1 l n 2 0 ，即 f ( 1 ) 0 ， 当 x 1 时， f ( x ) 0 ，即 x l n ( 1 x ) 四、导数与函数图象的关系 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升，符号为负，图象下降，看导数 图象时，主要是看图象在 x 轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象 f ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数， y 6、f ( x ) 的图象如图，则 y f ( x ) 的图象最有可能是下列选项中的 ( ) 答案 C解析 题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在 示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势由 x ( ， 0)时导函数图象在 示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除 B、 x (0,1)时，图象在 示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 堂典例探究求函数的单调区间求下列函数的单调区间 ( 1 ) f ( x ) 3 ln x ； ( 2 ) f ( x ) 131( a 0) 分析 按照利用导数求函数单调区间的一般步骤求解，注意函数 7、的定义域 解析 ( 1 ) 函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ， ) ， 且 f ( x ) 6 x 1x6 11x0 ，又 x 0 ， 6 1 0 ， x 66. f ( x ) 的单调增区间为66， ； 令6 1 6 1 0 ， 即 xx 2a0 ，得 x 0 或 x 0 或 f ( x ) (1 n)m.分析 由题目可获取以下主要信息：已知变量 m， 证明与该变量有关的不等式由于不等号两边的式子形式上具有联系，解答本题可考虑利用函数的性质处理 证明 1( 1 n )m 1 m m 1 n n， 构造函数 f ( x ) 1 x x( x 2) ， 得 f ( x ) x 1 x 由 8、 x 2 得 0 1 . f ( x ) 1 n n， (1 m )n(1 n )m. 方法总结 若证明不等式 f ( x ) g ( x ) ， x ( a ， b ) ，可以转化为证明 f ( x ) g ( x ) 0 . 令 F ( x ) f ( x ) g ( x ) ，如果 F ( x ) 0 ，则F ( x ) 在 ( a ， b ) 上是增函数；若 f ( a ) g ( a ) 0 ，由增函数的定义可知，当 x ( a ， b ) 时， f ( x ) g ( x ) 0 ，即 f ( x ) g ( x ) 合理构造函数是基础，研究单调性是关键 当 x 0 时，证明不等式 9、 l n ( x 1 ) x 12 x 2 . 证明 设 f ( x ) l n ( x 1) x 12 则 f ( x ) 11 x 1 x x. 当 x ( 1 ， ) 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 在 ( 1 ， ) 上是增函数 于是当 x 0 时， f ( x ) f ( 0 ) 0 ， 当 x 0 时，不等式 l n ( x 1 ) x 12 求参数的取值范围已知 a 为实数， f ( x ) ( x 2 4 ) ( x a ) 若 f ( x ) 在 ( ， 2 和 2 ， ) 上都是递增的，求 a 的取值范围 分析 已知单调区间求参数的范围常采用两种方法来求解： 10、利用导函数的性质； 分离参数 解析 ( 方法一 ) 由原式得 f ( x ) 4 x 4 a ， f ( x ) 3 2 4. 不难知道 f ( x ) 3 2 4 的图象为开口向上且过点 (0 ， 4) 的抛物线，由条件得f 2 0 ，f 2 0 ，即4 a 8 0 ，8 4 a 0. 2 a 2. a 的取值范围为 2 , 2 ( 方法二 ) 要使 f ( x ) 在 ( ， 2 和 2 ， ) 上都是递增的，只需 f ( x ) 3 2 4 0 在 ( ， 2 和 2 ， ) 上恒成立即可 ( 1 ) 若 f ( x ) 3 2 4 0 在 2 ， ) 上恒成立，即2 a 3 42 ， 11、) 上恒成立，只需 2 a (3 4x)m i n. 令 y 3 4x 3 x 4x，则 y 3 40 ，则 y 3 4x 3 x 42 ， ) 上为增函数， ym 4. 从而 a 2. ( 2 ) 若 f ( x ) 3 2 4 0 在 ( ， 2 上恒成立，即2 a 3 4 ， 2 上恒成立，只需 2 a (3 4x)m 令 y3 4x 3 x 4x，则 y 3 40 ，则 y 3 4x 3 x 4 ， 2 上为增函数， ym 4. 从而 a 2. 综上， a 的取值范围为 2 , 2 方法总结 利用导数与单调性的关系，求参数值 ( 或取值范围 ) 首先，将问题转化为不等式在某区间上的恒成 12、立问题，即f ( x ) 0( 或 f ( x ) 0) 恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取 “ ” 时是否满足题意 恒成立问题的重要思路： ( 1 ) m f ( x ) 恒成立 m f ( x )m ( 2 ) m f ( x ) 恒成立 m f ( x )m 已知函数 f(x) 2x (0,1， a0， 若 f(x)在 (0,1上是增函数 ， 求 解析 f ( x ) 2 a 3 0 在 ( 0 , 1 上恒成立， 2 a 3 a 32 ( 0 , 1 上恒成立 又 x ( 0 , 1 ， 320 ，32，即 a 32. a 的取值范围为32， . 若函数 f ( x ) x 3 x 2 1 是 R 上的单调函数，求实数 x 的取值范围。