（人教B版）数学选修2-2 第3章《数系的扩充与复数的引入》归纳课件

（人教B版）数学选修2-2 第3章《数系的扩充与复数的引入》归纳课件内容摘要：

1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2数系的扩充与复数的引入第三章章末归纳总结第三章知 识 结 构1知 识 梳 理2 随 堂 练 习4专 题 探 究3知 识 结 构知 识 梳 理本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容本章共分两大节第一大节是 “ 数系的扩充与复数的概念 ” 第二大节是 “ 复数的运算 ” 在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数 i，复数由此而产生，接着，介绍 2、了复数的有关概念和复数的几何表示主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平 面上两点间的距离公式，沟通了 “ 数与形 ” 之间的联系，提供了用 “ 形 ” 来帮助处理 “ 数 ” 和用“ 数 ” 来帮助处理 “ 形 ” 的工具 本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则利用复数的四则运算，可把复数代数形式 a b i 看成由 a 和 b i 两个非同类项组成，这 3、样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题 另一条主线是用复平面上的点或向量来描述 复数由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的 “ 形与数 ” 结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用 “ 数形结合 ” 观点来处理问题的能力 学习中应注意的几个问题：(1)对于复数 z a bi(a， b R)既要从整体的角度去认识它，把复数 4、看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路之一(2)在复平面内，如果复数变量按某种条件变化，那么对应的动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形的有机结合，成为复数问题转化为几何问题的重要解题途径之一，注意数形结合思想和转化思想的应用( 3 ) 两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法，此外，要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一性质，在解决复数问题时经常用到它 ( 4 ) 两个复数的和、差、积、商仍是一个惟一确定的复数，要熟练掌握复数的乘、除法的运算法则 ( 5 ) 要善于用复数的几何意义去解题，要深刻理解复数运算式 | 5、|的几何意义，并会灵活运用此外 z z |z |2 | z |2也是复数运算与实数运算互相转化的重要依据 专 题 探 究有关复数的概念设 z a b i( a ， b R ) ，则 ( 1 ) z 是虚数 b 0 ； ( 2 ) z 是纯虚数 a 0 ，b 0 ；( 3 ) z 是实数 b 0. 在解题中，若实部、虚部中含有分式 、根式、对数式等，需先使其有意义，再进行分类 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数如 z a b i 的共轭复数为 z a b i( a ， b R ) 已知 m R ，复数 z m m 2 m 1 ( 2 m 1 ) i ，当 m 为何值 6、时： ( 1 ) z R ； ( 2 ) z 是虚数； ( 3 ) z 是纯虚数 解析 ( 1 ) 当 2 m 1 0 且 m 1 0 ， 即 m 1 2 时， z 为实数 ( 2) 当 2 m 1 0 且 m 1 0. 即 m 1 2 且 m 1 时， z 为虚数 ( 3 ) 当m m 2 m 1 0 且 m 2 2 m 1 0 ， 即 m 0 或 2 时， z 为纯虚数 方法总结 此题考查复数的分类概念，主要运用复数概念的充要条件，要注意纯虚数的充要条件 a 0 且 b 0. 复数加 、 减 、 乘 、 除运算的实质是实数的加减乘除 ， 加减法是对应实 、 虚部相加减 ， 而乘法类比多项式 7、乘法 ， 除法类比根式的分子 、 分母有理化 ， 要注意 要灵活利用 i， 的性质 ， 或适当变形创造条件 ， 从而转化为关于 i， 的计算问题 ， 并注意以下结论的灵活运用：复数的运算在运算的过程中常用来降幂的公式有： ( 1 ) i 的乘方： i4 k 1 ， i4 k 1 i ， i4 k 2 1 ， i4 k 3 i( k N*) ； ( 2 ) ( 1 i )2 2 i ； ( 3 ) 设 1232i ，则有 2 1 , 1 3 1 ， 3 n 1( n N*) ， 2 ； ( 4 ) 进行复数除法运算时，有如下技巧： a b a i a b i i b a i i a b i b 8、i i( a ， b R ) ，利用此结论可使一些特殊类型题目的计算过程简化 计算：2 2 2 2 3 解析 原式2i 1 i 3 2 1 i i 3 i 72i 1 i 3 2i 1 i 3 22 2 2 1 i 3 i 27 2 ( 1 i)23(1 i ) ( i)712322( 8 i ) ( 1 i ) i 1 3 8 8 3 ( 8 8 3 ) i . 方法总结 利用 1 i i ( 1 i) ， 1 3 i i( 3 i) 巧妙化简 巧妙凑出1232 复数的代数形式 z x yi(x， y R)， 从实部虚部来理解一个复数 ， 把复数 x， 从而可以从实数的角度利用待定系数法和方 9、程思想来处理复数问题 复数问题实数化的思想 已知 x ， y 为共轭复数，且 ( x y ) 2 3 xy i 4 6i ，求 x ， y . 解析 设 x a b i( a ， b R ) ，则 y a b i. 又 ( x y )2 3 xy i 4 6i ， 4 3( b2)i 4 6i ， 4 42， a 1b 1或a 1b 1或a 1b 1或a 1b 1， x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 i. 共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程 1 |z | 1 z 1z； 2 10、z R z z ； 3 z 0 ， z 为纯虚数 z z . 复数模的计算公式：若 z a b i( a ， b R ) ，则 |z | 解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用： z z |z |2 | z |2， |z 1 z 2 | |z 1 | |z 2 |，|z 1 |z 2 |( z 2 0) 等 已知 z C 且 |z | 1 ，求 |z 2 z 1| 的最值 解析 因为 |z | 1 ，所以 z z 1 ，所以 z 1 z z z z ( z z 1) ，所以 |z 1| |z ( z z 1 ) | |z | | z z 1| |z z 1 | . 设 z x y i( x 11、 ， y R ) ，那么 |z z 1| |2 x 1| ，又因为 |z | 1 ，所以 1. 所以 1 x 1 ，所以 3 2 x 1 1 ，则 0 |2 x 1| 3. 所以 |z 1| 的最小值为 0 ，最大值为 3. 方法总结 本题中求 |z 2 z 1| 的最值，如果先设出 z 的代数形式，直接代入进行运算将非常繁琐，并且不易求解，但巧妙利用模的性质进行求解便简化了运算 已知 z C ，解方程 z z 3i z 1 3i. 解析 z z |z |2，把方程变形为 z 1 1 |z |23i 两边取模得 | z |2 |z |2 1 1 |z |229. 整理得 |z |4 1 1 | 12、z |2 10 0. 解得 |z |2 1 或 |z |2 1 0 . 将其 代入 得 z 1 或 z 1 3 i . z 1 或 z 1 3 i . 简解：设 z x y i( x ， y R ) ，则由题意知 3 i ( x y i) 1 3i ，即 3 y 3 x i 1 3i ， x 13 y 1， x 1y 0或x 1y 3， z 1 或 1 3 i . 复数的几何意义1. 复数的几何意义包括三个方面：复数的表示 ( 点和向量 ) 、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题 2 任何一个复数 z a b i( a ， b R ) 与复平面内一点 Z ( a ，b ) 对应，而任一点 Z ( a ， b ) 又可以与以原点为起点，点 Z ( a ， b )为终点的向量 应，这些对应都是一一对应，由此 得到复数的几何解法，特别注意 |z |、 |z a |的几何。