（人教B版）数学选修2-2 第2章《推理与证明》章末归纳课件

（人教B版）数学选修2-2 第2章《推理与证明》章末归纳课件内容摘要：

1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2推理与证明第二章章末归纳总结第二章知 识 结 构1知 识 梳 理2 随 堂 练 习4专 题 探 究3知 识 结 构知 识 梳 理推理与证明要解决的主要问题：运用合情推理的思维方式探索 、 发现一些数学结论 ， 可运用演绎推理来加以证明 学会了综合法 、 分析法及反证法 ， 能够运用数学归纳法证明与正整数相关的命题 解决上述问题的关键：一是要掌握合情推理与演绎推理的思维模式 ， 熟悉分析法 、 综合法 、 反证法 、 数学归纳法的思维过程及特点 ， 以及用各种方法证题的基本模式；二是养成 “ 观察 归纳 猜想 证明 ” 这一重要思维方式 2、， 强化转化思想 、 分类讨论思想 、 正难则反的思想 ， 培养科学的探究能力 、 创新能力 本章注意的问题(1)归纳推理和类比推理都是合情推理 ， 归纳推理是由特殊到一般 ， 由部分到整体的推理；后者是由特殊到特殊的推理 二者都能由已知推测未知 ， 都能用于猜测 ， 得出新规律 ，但推理的结论都有待于去证明它的正确性 (2)演绎推理与合情推理不同 ， 演绎推理是由一般到特殊的推理 ， 是数学证明中的基本推理形式 ， 只要前提正确 ， 推理形式正确 ， 得到的结论就正确 (3)合情推理与演绎推理既有联系 ， 又有区别 ， 它们相辅相成 ， 前者是后者的前提 ， 后者论证前者的可靠性 (4)数学 3、证明的两类基本方法是直接证明和间接证明 直接证明的两个基本方法：综合法与分析法；间接证明的基本方法：反证法 (5)数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题 在证明中 ， 它的两个步骤缺一不可 ， 且第二步的推导必须用上假设 专 题 探 究运用合情推理时 ， 要认识到观察 、 归纳 、 类比 、 猜想 、 证明是相互联系的 ， 在解决问题时 ， 可以先从观察入手 ， 发现问题的特点 ， 形成解决问题的初步思想 ， 然后用归纳 、 类比的方法进行探索 ， 提出猜想 ， 最后用演绎推理方法进行验证 合情推理与演绎推理 找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质 (1) 圆心与弦 ( 4、 非直径 ) 中点的连线垂直于弦 (2) 与圆心距离相等的两弦相等 (3) 圆的周长 c d ( d 为直径 ) (4) 圆的面积 S 4 解析 圆与球具有下列相似性质 1 圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合 2 圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形 与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质： 圆 球 (1) 圆心与弦 ( 非直径 ) 球心与截面圆 ( 非轴截面 ) 中点的连 线垂直于弦 圆心的连线垂直于截面 (2) 与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个 两条弦长相等 截面圆面积相等 5、 (3) 圆的周长 c d 球的表面积 S ) 圆的面积 S 4 6实数构成的集合 A 满足条件：若 a A ， a 1 ，则11 a A ，证明： (1) 若 2 A ，则集合 A 必有另外两个元素，并求出这两个元素； (2) 非空集合 A 中至少有三个不同元素 分析 从集合中的元素满足的条件 “ 若 a A ，则1a 1A ( a 1) ” 出发；当 a 2 时，依次进行检验，即可得证 证明 (1) a A ， a 1 ，则1a 1 A . 2 A 时，有11 2 1 A . 由于 1 1 ，有11 1 12 A . 由于12 1 ，有11 12 2 A . 如此循环可知集合 A 中的另外 6、两个元素为12， 1. (2) 集合 A 非空，故存在 a A ， a 1 ，有11 a A ， 11 a A 且11 a 1 ， 即 a 0 时，有11 11 aa 1a A ，即如此循环出现三个数 a ，11 a，a 1a A . 若 a 11 a，则 a 1 0 ，方程无实根 若11 aa 1a，则 a 1 0 ，方程无实根 若 a a 1a，则 a 1 0 ，方程无实根 a ，11 a，a 1集合 A 中至少有三个不同元素 方法总结 本题考查了集合的定义、性质、二次方程的根等知识，培养学生的逻辑思维能力 . 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法 ， 应用综合法证明问题时 ， 必须 7、首先想到从哪里开始起步 ， 分析法就可以帮助我们克服这种困难 在实际证明问题时 ， 应当把分析法和综合法综合起来使用 ， 转换解题思路 ， 增加解题途径 综合法和分析法 若 c 1 ，求证： 1. 分析 由三角函数的基本关系式 1 ，从 出发，借助于立方和公式将待证式的次数降低后再进行证明 证明 (s 3 (3 (s c (s 2s 3 1 3s 要证 1 ，只需证 0. 由 co s 1 两边平方得 2 0 ， 4 0. co 1. 方法总结 本题证明过程的前半部分用的是综合法，后半部分是分析法，本题把二者很好地结合起来 . 反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题 8、“ 若 p ，则 q ” 的否定是 “ 若 p ，则 q ” ，由此进行推理，如果发生矛盾，那么 就说明 “ 若 p ，则 q ” 为假，从而可以导出 “ 若 p ，则 q ” 为真，从而达到证明的目的反证法反映了 “ 正难则反 ” 的解题思想 若 x ， y ， z 均为实数，且 a y z 2， b x z 3， c x y 4，求证： a ， b ， c 中至多有两个小于或等于零 证明 假设 a ， b ， c 都小于或等于零，则 a b c 0. 所以 ( y z 2) ( x z 3) ( x y 4) 2 x 2 y 2 z 1312 0 ，即 ( x 1)2 ( y 1) ( z 9、 1)2 3 1312. 因为 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 0 ，所以 3 1312 0 ，即36 13 ，这与基本事实 36( k 1) 1. 根据 和 ，对于所有 n 1 ，有 a n n 1. 方法总结 本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决 问题的能力 随 堂 练 习一、选择题 1 下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为 ( ) A 3n 1B 3 3n 2 n D 3n 1 2 n 3 答案 A解析 由题意知 1， 3， 9， 27，故猜想 3n 已知 S ( n ) 1n1n 1 10、1n 21n 3 1则 ( ) A S ( n ) 共有 n 项，当 n 2 时， S (2) 1213B S ( n ) 共有 n 1 项，当 n 2 时， S (2) 121314C S ( n ) 共有 n 项，当 n 2 时， S (2) 121314D S ( n ) 共有 n 1 项，当 n 2 时， S (2) 121314答案 D解析 从 n到 n 1个自然数 ， 即 S(n)共有 n 1项 故选 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设 a b c ，且 a b c 0 ，求证： B a c 0 C ( a b )( a c )0 D ( a b )( a c ) b c 11、，且 a b c 0 ，所以 3 c 0 ， c 0 ，只需证 ( a c )(2 a c )0 ，只需证 2 a c 0( a 0 ， c 0) ，只需证 a c ( b c ) 0 ，即证 a b 0 ，这显然成立故选 A. 二 、 填空题4 平面上 ， 周长一定的所有矩形中 ， 正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中 ， 圆的面积最大 ， 将这些结论类比到空间 ， 可以得到的结论是 _答案 表面积一定的空间体中 ， 球的体积最大解析 平面中的 “ 周长 ” 类比成空间中的 “ 面积 ” 、“ 平面图形 ” 类比成 “ 空间体 ” 、 “ 面积 ” 类比成 “ 体积 ” ，“ 圆 ” 12、类比成 “ 球 ” 5 根据下面一组等式1，2 3 5，4 5 6 15，7 8 9 10 34，11 12 13 14 15 65，16 17 18 19 20 21 111，22 23 24 25 26 27 28 175，可得 1 _.答案 析 根据所给等式组 ， 不难看出： 1 14；1 15 16 24；1 15 65 81 34，1 15 65 175 256 44，由此可得 1 答题 6 已知数列 x n 满足 x 1 12， x n 1 11 x n， n N*. (1) 猜想数列 x 2 n 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： | x n 1 x n | 16(25)n。