（人教B版）高一数学必修四 2.2.1《平面向量基本定理》ppt课件

（人教B版）高一数学必修四 2.2.1《平面向量基本定理》ppt课件内容摘要：

1、 2 平面向量基本定理 【学习要求】 1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 会用平面向量基本定理解简单的几何问题 3 掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表 达式 4 掌握平面向量基本定理并能应用 【学法指导】 1 对给定的向量 a ，实数 1， 2存在且唯一实数 1， 2的唯一性是相对于基底 只有是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底， 所以基底的选取不唯一一旦选定一组基底，则给定向量 沿着基底的分解是唯一的 3 平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平 面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合 4 这 个定理体现了转化 2、与化归思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决 . 知识要点、记下疑难点1 平面向量基本定理 如果 的向量，那么该平面内的任一向量 a ，存在唯一的一对实数 a . 2 基底 把 向量 为 叫做向量 a 关于基底 e1，的分解式 不平行a 1 e 1 a 2 e 2 不共线a 1 e 1 a 2 e 2 知识要点、记下疑难点3 直线的向量参数方程式 已知 A 、 B 是直线 l 上任意两点， O 是 l 外 一点 ( 如图所示 ) ，对直线 l 上 一点 P ， 存在唯一的实数 t 满足向量等式 ，反之，对每一个实数 t ，在直线 l 上 3、都有 的一个点 P 与之对应向量等式 叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实数 t 叫做参变数，简称 4 线段中点的向量表达式 在向量等式 (1 t ) t ，若 t 12，则点 P 是 中点，且 ，这是线段 中点的向量表达式 . 任意(1t) 唯一(1 t ) t 参数12 ( )本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平面向量基本定理的提出 (1) 平面内的任何向量 都能用这个平面内两 个不共线的向量来表示如图所示， 用 e1，B， a . 通过观察，可得： ， ， ， ， ， a . 2 e 1 3 e 2 e 1 4 e 2 4 e 1 4 e 2 2 e 1 5 e 2 2 e 4、1 5 e 2 2课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 2) 平面向量基本定理的内容是什么。 什么叫基底。 答 平面向量基本定理是指：如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a 1 e 1 2 e 2 . 这里不共线的向量 e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平面向量基本定理的证明 ( 1) 证明定理中 1 ， 2 的存在性 如图， e 1 ， e 2 是平面内两个不共线的向量， a 是这一平面内任一向量， a 能否表示成 1 e 1 2 5、e 2 的形式，请通过作图探究 a 与 e 1 、 e 2 之间的关系 答 在平面内任取一点 O ，作 e 1 ， e 2 ， a ，过点 C 分别作平行于 直线，交直线 点 M ，交直线 点 N ，有 1 2 O M a 1 e 1 2 e 2 ，如图所示 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 2) 证明定理中 1 ， 2 的唯一性 如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线的向量， a 是和 e 1 、 e 2共面的任一向量，且存在实数 1 、 2 使 a 1 e 1 2 e 2 ，证明 1 ， 2 是唯一确定的 ( 提示：利用反证法 ) 答 假设存在另一组实数 1 ， 2 6、也能使 a 1 e 1 2 e 2 成立，则 1 e 1 2 e 2 1 e 1 2 e 2 . ( 1 1 ) e 1 ( 2 2 ) e 2 0. e 1 、 e 2 不共线， 1 1 2 2 0 ， 1 1 ， 2 2 . 使 a 1 e 1 2 e 2 成立的实数对 1 ， 2 是唯一的 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 直线的向量参数方程的应用 ( 1) 定义：若 P 在直线 ( 或 P 、 A 、 B 共线 ) ，则一定存在实数 t ，使得 (1 t ) t ( 2) 应用：利用直线的向量参数方向可证明三点共线，若点 A 、B 、 P 满足此方程式且 数之和为 1 ，则 7、A 、 B 、 过来也成立，即若 A 、 B 、 P 共线，且 m n 则 m n 1. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 图， 设一直线上三点 A 、 B 、 P 满足 1) ， O 是平面上任一点，则 ( ) A. B. C. D. 2 问题探究、课堂更高效 典型例题 例 1 已知 e 1 ， e 2 是平面内两个不共线的向量， a 3 e 1 2 e 2 ， b 2 e 1 e 2 ， c 7 e 1 4 e 2 ，试用向量 a 和 b 表示 c . 解 a ， b 不共线， 可设 c x a y b ，则 x a y b x (3 e 1 2 e 2 ) y ( 2 e 1 8、e 2 ) (3 x 2 y ) e 1 ( 2 x y ) e 2 7 e 1 4 e 2 . 又 e 1 ， e 2 不共线， 3 x 2 y 7 ， 2 x y x 1 ， y 2 ， c a 2 b . 小结 选定基底之后，就要 “ 咬定 ” 基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量这有时要利用平面几何知识要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 如图所示，在平行四边形， M ， N 分别为 中点，已知 c ， d ，试用 c ， d 表示 解 设 a ， b ， 则 1212a b ， 12 9、 a 12b 由 得12a b 12b d，解得a 23c 4343c 23d， 即 23c 43d ， 43c 23d . 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 如图，梯形 D 中， 且 2 M 、 N 分别是 中点， 若 a ， b ，试用 a 、 b 表示 解 如图所示，连接 则四边形 A 是平行四边形 则 1212a ， 12 b 12a ， 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 12 12 1214a b . 小结 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来解决此类题时，首先仔细观察所给图形借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本 10、定理解决 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 如图，已知 ， D 为 E ， F 为 三等分点，若 a ， b ，用 a 、 b 表示 解 12 a 12 ( b a ) 12 a 12 b ； 13 a 13 ( b a ) 23 a 13 b ； 23 a 23 ( b a ) 13 a 23 b . 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 如图，在 ， 14 12 ，设 a ， b ，以 a ， b 为基底表示 解 设 m a n b ( m ， n R) ， 则 ( m 1) a n b ， 12b a a 12b 因为 A ， M ， D 三点共线，所以m 1 1 m 2 n 1. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 M m 14a n b ， b 14a 14a b ， 因为 C ， M ， B 三点共线，所以m 1414 4 m n。