（人教B版）高一数学必修四 2.4.1《向量在几何中的应用》ppt课件

（人教B版）高一数学必修四 2.4.1《向量在几何中的应用》ppt课件内容摘要：

1、 4 向量在几何中的应用 【学习要求】 1 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程 2 体会向量是一种处理几何问题的有力工具 3 培养运算能力、分析和解决实际问题的能力 【学法指导】 由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题 用向量方法解决平面几何问题的 “ 三步曲 ” ： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系 ； 把运算结果 “ 翻译 ” 成几何关系 . 知识要点、记下疑难点1 向量方法在几何中的应用 ( 2、1) 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 ( 共线 )的等价条件： a b ( b 0 ) . ( 2) 证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a ， b ， a b . ( 3) 求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 c . ( 4) 求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： | a | . a b x 1 y 2 x 2 y 1 0 ab 0 x 1 x 2 y 1 y 2 0 ab|a|b| x1 x 2 y 1 y 2x 21 y 21 x 22 y 22 知识要点、记下疑难点2 直线的方向向量和法向量 ( 1) 3、 直线 y b 的方向向量为 ，法向量 为 . ( 2) 直线 C 0 的方向向量为 ，法向量为 . (1， k) (k， 1)(B， A)(A， B)本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 直线的方向向量与两直线的夹角 ( 1) 直线 y b 的方向向量：如果向量 v 与直线 l 共线，则称向量 v 为直线 l 的方向向量 对于任意一条直线 l ： y b ，在它上面任取两点 A ( ，B ( x ， y ) ，则向量 ( x y 与直线 l 共线，即 直线 l 的方向向量由于 ( x y 1x ，y 1x ， k ) ，所以向量 ( x y 与向量 (1 ， k ) 共线，从而向量 ( 4、1 ， k ) 是直线 y b 的一个方向向量 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 ) 直线 C 0 的方向向量 当 B 0 时， k 以向量 ( B ， A ) 与 (1 ， k ) 共线，所以向量 ( B ， A ) 是直线 C 0 的一个方向向量；当 B 0 时，A 0 ，直线 x 0 ， A ) ，即 ( B ， A ) 综上所述，直线 C 0 的一个方向向量为 v ( B ， A ) 例如：已知直线 l ： 2 x y 1 0 ，在下列向量： (1,2) ； (2,1) ； 12， 1 ； ( 2 ， 4) 其中能作为直线 l 方向向量的有： _ 本课时栏目开关研一研 问题探 5、究、课堂更高效 3) 应用直线的方向向量求两直线的夹角 已知直线 y y 们的方向向量依次为 (1 ， ， (1 ， 当 v11 0 时， 角为直角；当 1 时， v10 ，直线 ( 0 90 ) 不难推导利用 c 的夹角公式： c | v1 |1 1 例如：直线 x 2 y 1 0 与直线 2 x y 3 0 的夹角为_ ；直线 2 x y 1 0 与直线 3 x y 1 0 的夹角为_ 9045本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 直线的法向量与两直线的位置关系 ( 1) 直线 C 0 的法向量：如果向量 n 与直线 l 垂直，则称向量 n 为直线 l 的法向量因此若直线的方向向量为 6、 v ，则 n v 0. 从而对于直线 C 0 而言，其方向向量为v ( B ， A ) ，则由于 n v 0 ，于是可取 n ( A ， B ) ，这时因为 ( B ， A ) ( A ， B ) 0. 直线的法向量也有无数个 ( 2) 直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线 0 ， 0 ，它们的法向量分别为 ( ， ( 当 0 当 即 0 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 线 l 1 ： ( a 2) x (1 a ) y 3 0 与直线 l 2 ： ( a 1) x (2 a 3) y 2 0 垂直，则 a 的值为 _ 解析 n 1 ( a 2,1 7、 a ) ， n 2 ( a 1,2 a 3) ， 1 l 1 l 2 ， n 1 n 2 ( a 2) ( a 1) (1 a )(2 a 3) ( a 1) ( a 1) 0 ， a 1. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平面向量在几何中的应用 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观其基本方法是： ( 1) 要证明线段 可转化为证明 | | . ( 2) 要证明 只需证明存在一个不为零实数 ，使得 且 A 、 B 、 C 、 D 不共线即可 ( 3) 要证明 A 、 B 、 C 三点共 线，只需证明 ( 4) 8、 要证明 只需证明 0 ，或若 ( ， ( ，则用坐标证明 0 即可 ( 5) 常用 | a | a a 和 c a b| a | b |处理有关长度与角度的问题 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍请用向量法给出证明 证明 在平行四边形 A B ， ， ， 2 ( ) 2 2 2 2 ； 2 ( ) 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 . 即 | 2 | 2 2( | 2 | 2 ) 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 典型例题 例 1 已知 A 三个顶点 A (0 ， 4) ， B ( 9、 4,0) ， C ( 6,2) ，点 D 、 E 、 F 分别为边 中点 ( 1) 求直线 方程； ( 2) 求 上的高线 在直线方程 解 ( 1) 由已知得点 D ( 1,1) ， E ( 3 ， 1) ， F (2 ， 2) ，设M ( x ， y ) 是直线 任意一点，则 . ( x 1 ， y 1) ， ( 2 ， 2) ( 2) ( x 1) ( 2) ( y 1) 0 ， 即 x y 2 0 为直线 方程 同理可求，直线 方程分别为 x 5 y 8 0 ， x y 0. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 2) 设点 N ( x ， y ) 是 在直线上任意一点，则 . 10、0. 又 ( x 6 ， y 2) ， ( 4,4 ) 4( x 6) 4( y 2) 0 ， 即 x y 4 0 为所求直线 方程 小结 ( 1) 利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算 ( 2) 直线 C 0 的方向向量为 v ( B ， A ) ，法向量 n ( A ， B ) 这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 在 ， A ( 4,1 ) ， B ( 7,5 ) ， C ( 4,7 ) ，求 解 ( 3,4) ， ( 8,6) ， A 的平分线的一个方向向量为： 35，4545，3515，75. A 的平分线过点 A . 所求直线方程为 75 ( x 4) 15 ( y 1) 0. 整理得： 7 x y 29 0. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 如图， ，点 E 、 F 分别是 的中点， BF。