（人教B版）高一数学必修四 2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》课件

（人教B版）高一数学必修四 2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》课件内容摘要：

1、向量的正交分解与向量的直角坐标运算 【学习要求】 1 了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 2 掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则 3 正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来 【学法指导】 1 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据向量的坐 标表示，沟通了向量 “ 数 ” 与 “ 形 ” 的特征，使向量运算完全代数化 要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时 ( 3 向量和、差 2、的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积 . 知识要点、记下疑难点1 平面向量的坐标表示 ( 1) 向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解 ( 2) 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 i ， j 作为基底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ， y 使得 a ，则 叫做向量 a 的坐标， 叫做向量的坐标表示 ( 3) 向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A ( x ， y ) ，则 ，若 A ( ， B ( ，则 互相垂直单位向量x， y) a (x， y)(x， y) 3、 ( x 2 x 1 ， 知识要点、记下疑难点2 平面向量的坐标运算 ( 1) 若 a ( ， b ( ，则 a b ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 ( 2) 若 a ( ， b ( ，则 a b ，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 ( 3) 若 a ( x ， y ) ， R ，则 a ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 . ( x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) ( x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) (x ， y ) 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平 面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴 4、方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底对于平面内的任一向量 a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x ， y ，使得 a x i y j . 我们把有序数对 ( x ， y ) 叫做向量 a 的坐标，记作 a ( x ， y ) ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标显然有， i ， j ， 0 (1,0) (0,1) (0,0)本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 根据下图写出向量 a ， b ， c ， d 的坐标，其中每个小正方形的边长是 1. 答 a ( 2, 3) ， b ( 2, 3) ， c ( 3 ， 2) ， d ( 5、3 ， 3) 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量 ( xA，所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系 请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量 a ， b ，c ， d 所对应的点 A ， B ， C ， D . 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 其中 a ( 1,3) ； b ( 5 ， 2) ； c ( 2 ， 2) ；d (2 ， 4) 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平面向量的坐标运算 问题 1 已知 a b c 如下图所示，写出 6、 a ，b ， c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量 a b ， a b 以及a 3 c ，然后写出它们的坐标 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 易知： a ( 4,1) ， b ( 5,3) ， c ( 1,1) ， a b ( 1,4) ， a b (9 ， 2) ， a 3 c (1 ， 2) 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 一般地，设 a ( x 1 ， y 1 ) ， b ( x 2 ， y 2 ) ，试写出 a b ， a b ， a ， a b 的坐标 答 a ( x 1 ， y 1 ) x 1 i y 1 j ， b ( x 2 ， y 2 ) x 2 i 7、 y 2 j . a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j ( x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) ； a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j ( x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) ； a ( x 1 i y 1 j ) ( x 1 ) i ( y 1 ) j ( x 1 ， y 1 ) ； 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ( x 1 8、 ) i ( y 1 ) j ( x 2 ) i ( y 2 ) j ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j ( x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 典型例题 例 1 已知平面上三点 A (2 ， 4) ， B ( 0,6) ， C ( 8,10) ，求：( 1) ( 2) 2 ( 3) 12 解 A (2 ， 4) ， B ( 0, 6) ， C ( 8,10 ) ( 0,6) (2 ， 4) ( 2,10 ) ， ( 8,10 ) (2 ， 4) ( 10,1 4) ， ( 8,10 ) ( 0,6) ( 8 ,4) ( 1) 9、 ( 2,1 0) ( 10, 14) (8 ， 4) ( 2) 2 ( 2,1 0) 2( 8,4 ) ( 18, 18) ( 3) 12 ( 8,4 ) 12 ( 10, 14) ( 3 ， 3) 小结 ( 1) 已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标； ( 2) 向量的坐标运算最终转化为实数的运算 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 a ( 1,2) ， b ( 2,1) ，求： ( 1) 2 a 3 b ； ( 2) a 3 b ； ( 3)12 a 13 b . 解 ( 1) 2 a 3 b 2( 1, 2) 3( 2,1 ) ( 2,4 ) ( 6, 10、3 ) ( 4,7 ) ( 2) a 3 b ( 1,2 ) 3( 2, 1) ( 1,2 ) ( 6,3 ) ( 7 ， 1) ( 3) 12 a 13 b 12 ( 1,2) 13 ( 2,1) 12 ， 1 23 ，13 76 ，23 . 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 a ( 2,3 ) ， b ( 3,1 ) ， c ( 10 ， 4) ，试用 a ， b 表示 c . 解 设 c x a y b ， 则 ( 10 ， 4) x ( 2,3) y ( 3,1) ( 2 x 3 y, 3 x y ) ， 10 2 x 3 y ， 4 3 x y ，解得 x 2 ， y 11、 2 ， c 2 a 2 b . 小结 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 a ( 10 ， 5) ， b ( 3,2) ， c ( 2,2) ，试用 b ，c 表示 a . 解 设 a b c ( ， R) 则 ( 10 ， 5) ( 3,2) ( 2,2) (3 ， 2 ) ( 2 ， 2 ) (3 2 ， 2 2 ) 10 3 2 5 2 2 ，解得 1 72， a b 72 c . 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 顶点 A ( 1 ， 2) ， B (3 ， 1) ， C ( 5,6 ) ，求顶点 D 的坐标 解 设 D ( x ， y ) 则 ( 4,1) ， (5 x, 6 y ) ， 由 5 x 46 y 1， x 1y 5. 顶点 D 的坐标为 ( 1, 5) 小结 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 2.2.。