（人教B版）高一数学必修四 2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》ppt课件

（人教B版）高一数学必修四 2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》ppt课件内容摘要：

1、 3 向量数量积的物理背景与定义 【学习要求】 1 了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功 2 掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义 3 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直 【学法指导】 1 向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量学习时必须透彻理解数量积概念的内涵 向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵 更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄书写格式也要严格区分， a b 中的 “ ” 2、不能省略 3 由 a b 的定义，不难发现 a 与 b 的数量积是一个数量，其中决定整个式子 的正负符号的关键是 的值 . 知识要点、记下疑难点1 两个向量的夹角 ( 1) 已知两个非零向量 a ， b ，作 a ， b ，则 称作向量 a 和向量 b 的夹角， 记作 ，并规定它的范围是 . 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有 a ， b ( 2) 当 时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直， 记作 . a， b 0 a， b b， a a ， b 2 a b 知识要点、记下疑难点2 向量在轴上的正射影 已知向量 a 和轴 l ( 如图 ) 作 a ，过点 O ， A 分别作轴 3、 l 的垂线， 垂足分别为 向量 做向 量 a 在轴 l 上的正射影 ( 简称射影 ) ，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在 上的数量或在 上的数量 . l 上正射影的坐标记作 量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 ，则由三角函数中的余弦定义有 . 3 向量的数量积 ( 内积 ) 叫做向量 a 和 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作a b . 即 a b 轴 l 轴 a| |a | b |c a ， b |a | b |c a ， b 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a | b | c 叫做 a 与 或 4、内积 ) ，记作 a b ，即 a b | a | b | c ，其中 是 a与 b 的夹角， 0 ， 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ，那么力 . |F |s|c o s Fs 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 向量的数量积是一个数量，而不再是向量 对于两个非零向量 a 与 b . 当 时， a b 0 ； 当 时， a b 0 ，即 a b ； 当 时， a b 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 平面向量数量积的性质 根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量， 为 a 与 b 5、的夹角 ( 1) 当 a ， b 0 时， a b ； 当 a ， b 时， a b ； 当 a ， b 2时， a b ； ( 2) a a 或 | a | a a ( 3) c ； ( 4) | a b | | a | b |. 并证明第 ( 4) 条性质 |a|b| |a|b| 0|a|2 ab|a|b| 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 | a b | | a | b |. 设 a 与 b 的夹角为 ，则 a b | a | b | c . 两边取绝对值得： |a b | |a | b | c | |a | b |. 当且仅当 | c | 1 ， 即 c 1 ， 0 或 时， 6、取 “ ” 所以 |a b | |a | b |. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 典型例题 例 1 已知 | a | 4 ， | b | 5 ，当 ( 1) a b ； ( 2) a b ； ( 3) a 与 b 的夹角为 30 时，分别求 a 与 b 的数量积 解 ( 1) a b ，若 a 与 b 同向，则 0 ， a b |a | |b | c 4 5 20 ；若 a 与 b 反向，则 180 ， a b |a | |b | c 80 4 5 ( 1) 20. ( 2) 当 a b 时， 90 ， a b |a | |b | c 9 0 0. ( 3) 当 a 与 b 的夹 7、角为 30 时， a b |a | |b | c 0 4 5 32 10 3 . 小结 求平面向量数量积的步骤是： 求 a 与 b 的夹角 ， 0 ， 180 ； 分别求 |a | 和 | b | ； 求数量积，即 a b |a | | b | c ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点 “ ” 连结，而不能用 “” 连结，也不能省去 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 | a | 4 ， | b | 3 ，当 ( 1) a b ； ( 2) a b ； ( 3) a 与 b 的夹角为 60 时，分别求 a 与 b 的数量积 解 ( 1) 当 a b 时，若 a 与 b 8、同向， 则 a 与 b 的夹角 0 ， a b |a | b | c 4 3 c 12. 若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角为 180 ， a b |a | b | c 8 0 4 3 ( 1) 12. ( 2) 当 a b 时，向量 a 与 b 的夹角为 90 ， a b |a | b | c 0 4 3 0 0. ( 3) 当 a 与 b 的夹角为 60 时， a b |a | b | c 0 4 3 12 6. 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 | a | | b | 5 ，向量 a 与 b 的夹角为3 ，求 | a b | ， | a b |. 解 a b | 9、a | b | c 5 5 12252. |a b | a b 2 |a |2 2a b |b |2 25 2 252 25 5 3 . |a b | a b 2 |a | 2 2a b |b | 2 25 2 252 25 5. 小结 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用 a 2 |a | 2 ，勿忘 记开方 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 | a | 8 ， | b | 6 ， | a b | 10 ，求向量 a 与 b 的夹角 . 解 |a | 8 ， |b | 6. |a b | 2 ( a b ) 2 a 2 b 2 2 a b 8 10、2 6 2 2 a b 100 ， a b 0 ， c a b|a | b | 0 ， 2 . 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 a b 9 ， a 在 b 方向上的正射影为 3 ， b 在 a 方向上的正射影为32 ，求 a 与 b 的夹角 及 | a | | b | . 解 |a | c 3|b | c 32， a b|b | 3a b|a | 32， 即 9|b | 3 9|a |32， |a | 6|b | 3 ， c a b|a | b | 96 312 . 0 ， 120 . 小结 ( 1) 理清 “ 谁在谁上 ” 的正射影，再列方程，将条件转化解决 ( 2) 注意 11、数量积公式的变形式的灵活应用 本课时栏目开关研一研 问题探究、课堂更高效 已知 | a | 1 ， | b | 1 ， a ， b 的夹角为 120 ，计算向量 2 a b 在向量 a b 方向上的正射影 解 (2 a b ) ( a b ) 2 a 2 2 a b a b b 2 2 a 2 a b b 2 2 1 2 1 1 c 2 0 1 2 12. |a b | a b 2 a 2 2 a b b 2 1 2 1 1 c 20 1 1. 2 a b a b |a b | 12 . 本课时栏目开关练一练 当堂检测、目标达成落实处 已知 | a | 8 ， | b | 4 ， a ， b 120 ，则向量 b 在 a 方向上的投影为 ( ) A 4 B 4 C 2 D 2 解析 b 在 a 方向上的投影为 |b | c a ， b 4 c 20 2. 当堂检。