（人教A版）高中数学（选修4-5）《用数学归纳法证明不等式》ppt课件

（人教A版）高中数学（选修4-5）《用数学归纳法证明不等式》ppt课件内容摘要：

1、该课件由【语文公社】 学归纳法证明不等式4 2 用数学归纳法证明不等式该课件由【语文公社】 文公社】 设 n 1( n N) ， 求证：1n1n 11n 2 1 1. 证明： (1 ) 当 n 2 时 ， 左边1213141312 1. 当 n 2 时 ， 不等式成立 (2 ) 假设当 n k ( k 1 ， k N) 时 ， 不等式成立 ， 即1k1k 11k 2 1 1. 该课件由【语文公社】 n k 1 时 ， 1k 11（ k 1 ） 1 1（ k 1 ）2 11（ k 1 ）21k 11k 2 111 12 k, s (2 k 项) 1（ k 1 ）21k1k 11k 2 111 1 2、2 k, s (2 k 项) 1（ k 1 ）21k 1 2 k 1（ k 1 ）21k 1 k 1k （ k 1 ）2. 该课件由【语文公社】 k 2 ， k 12294， k 1 k 122549454 1. 1k 11（ k 1 ） 1 1（ k 1 ）2 1. 当 n k 1 时 ， 不等式也成立 由 ( 1 )( 2 ) 可知 ， 对一切的 n 2 ， n N ， 此不等式都成立 该课件由【语文公社】 变式训练 1 证明： 2 n 2 n 2 ( n N * ) 证明： (1 ) 验证知 n 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 时 ， 命题都成立 (2 ) 设 n k ( k 5 ， 3、 k N*) 时命题成立 ， 即 2k 2 2k 则当 n k 1 时 ， 2k 1 2 2k 1 ( k 1)2， ( * ) 故命题成立 ， 因而对一切 n N*命题成立 该课件由【语文公社】 * ) ：当 k 5 时 2k 证明如下： ( ) 当 k 5 时 ， 25 52显然成立； ( ) 设 k i ( i 5 ， i N*) 时 ， 2i 则当 k i 1 时 ， 2i 1 ( i 1 )2 2 2i 2 i 1 2 ( 2i ( 2 i 1 ) 2 2 ( 2i ( i 1 )2 2 ， 2i i 5 ， ( i 1 )2 2 0 ， 故 2i 1 ( i 1 )2， 对一切 k 4、 5 有 2k 该课件由【语文公社】 (2 0 1 4 安徽高考理科 ) 设实数 c 0 ， 整数 p 1 ， n N*. (1 ) 证明：当 x 1 且 x 0 时 ， (1 x )p 1 (2 ) 数列 a n 满足 a 1 a n 1 p 1pa n 证明： a n a n 1 该课件由【语文公社】 (1 ) 用数学归纳法证明： 当 p 2 时 ， (1 x )2 1 2 x 1 2 x ， 原不等式成立 假设 p k ( k 2 ， k N*) 时 ， 不等式 (1 x )k 1 立 ， 当 p k 1 时 ， (1 x )k 1 (1 x ) (1 x )k (1 x )(1 1 ( 5、1 k ) x 1 (1 k ) x ， 所以 p k 1 时 ， 原不等式成立 该课件由【语文公社】 当 x 1 且 x 0 时 ， 对一切整数 p 1 ， 不等式 ( 1 x )p 1 成立 ( 2 ) 设 f ( x ) p 1 p， x 则 c ， 并且 f ( x ) p 1p1 p ) x pp 1p( 1 0 ， x 由此可得 f ( x ) 在 ) 上单调递增 ， 因而 ， 当 x ， f ( x ) f ( 该课件由【语文公社】 当 n 1 时 ， 由 0 ， 即 c 可知 a2p 1 1 1p 1 并且 f ( 从而 故当 n 1 时 ， 不等式 1 立 假设 n k ( 6、k 1 ， k N*) 时 ， 该课件由【语文公社】 1 立 ， 则当 n k 1 时 ， f ( f ( 1) f ( 成立 ， 即 1 2 所以 n k 1 时 ， 原不等式也成立 综合 可得 ， 对一切正整数 n ， 不等式 1 成立 该课件由【语文公社】 文公社】 由已知得 （ 2 n 1 ）2 ( n 1) ( n 1)2， n 12 1 2n 1. 当 n 1 时 ， 4 ， 1 ， 则 当 n 2 时 ， 9 ， 3 ， 则 当 n 3 时 ， 16 ， 7 ， 则 当 n 4 时 ， 25 ， 15 ， 则 当 n 5 时 ， 36 ， 31 ， 则 该课件由【语文公社】 n 7、6 时 ， 49 ， 63 ， 则 当 n 7 时 ， 64 ， 127 ， 则 由此得到 ， 当 n N， n 5 时 ， 猜想：当 n N， n 6 时 ， 前一结论上面已用穷举法证明 ， 后一猜想用数学归纳法证明如下： 当 n 6 时 ， 上面已证 假设当 n k ( k N， k 6 ) 时 ， 上述结论成立 ， 该课件由【语文公社】 k 6 时 ， ( k 1)2 2k 1. 当 n k 1 时 ， 要证 1 1， 即证 ( k 2)2 2k 1 1 ， 这只要证 ( k 2)2 2 2k 1. 由归纳假设知 2k ( k 1)2 1 ， 只要证 ( k 2)2 ( k 1)2 1 8、2 1 ， 即 4 k 4 2 4 k 3 ， 该课件由【语文公社】 1 ， 这由 k 6 得上式显然成立 ， 所以当 n k 1 时 ， 上述猜想成立 综上所述 ， 当 n N ， 1 n 5 时 ， a n b n ；当 n N ， n 6 时 ，a n b n . 该课件由【语文公社】 “ 归纳、猜想、证明 ” 中准确猜想是关键 ， 本题不能只对n 1 ， 2 ， 3 ， 4 做出计算 ， 就断定当 n N 时 ， a n b n 成立如果错误做出此推测 ，在后面证明受阻时，也应重新检查猜想是否正确 从函数观点看 ， a n ( n 1)2是二次函数 ， b n 2n 1 是指数型函数 9、， 当n N 时 ， 后者增长快 ， 这对猜想可起导向作用 该课件由【语文公社】 变式训练 3 设 P n (1 x )n， Q n 1 n （ n 1 ）2n N*， x ( 1 ， ) ， 试比较 P n 与 Q n 的大小 ， 并 加以证明 该课件由【语文公社】 ( 1 ) 当 n 1 ， 2 时 ， ( 2 ) 当 n 3 时 ( 以下再对 x 进行分类 ) ， 若 x ( 0 ， ) ， 显然有 若 x 0 ， 则 若 x ( 1 ， 0 ) ， 则 ， 所以 4 4 x ) 0 ， 所以 该课件由【语文公社】 k k 3 ) ， 则 1 ( 1 x ) ( 1 x ) 1 k （ k 1 ） x k （ k 1 ） 1 ( k 1 ) x k （ k 1 ）2x2k （ k 1 ）2 1k （ k 1 ）2 1， 即当 n k 1 时不等式成立 ， 所以当 n 3 ， 且 x ( 1 ， 0 ) 时 ， 该课件由【语文公社】。